线性规划范文第1篇

关键词：基本问题；平面区域；约束条件；目标函数；双变量；转化化归

线性规划的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源（人力、物力和财力）去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务的完成数最多.

“线性规划”在知识的整合、解题思路的拓展、方法的迁移等方面都有其鲜明的特点，有着丰富的思想内涵. 挖掘题中条件，不失时机地运用“线性规划”的思想方法解题，将使我们观察思考问题的立意更高，视野更加开阔.

“线性规划”问题的教学现状

在中学教材中，称求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题为线性规划问题. “线性规划”的教学分为三个层次：

（1）二元一次不等式表示的平面区域；

（2）二元一次不等式组表示的平面区域；

（3）线性目标函数在约束条件下的最值.

只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.

例如：设实数x，y满足0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，则z=2y-x+4的最大值是__________.

上述问题可转化为一个平面区域与一条直线在有公共点的前提下，结合z的几何意义来求解.

具体教学过程中，学生感觉有困难的部分是作图环节，体现在速度慢，不够准确. 如何准确有效地作出所需图形，应给予学生充分的指导、训练和体验. 学生作图时会出现过于细致的问题，如逐步描绘坐标系刻度；又或出现过于轻率的问题，连图形的形状和基本特征都无法抓住.这两个问题都使解题的速度和准确性大打折扣.

当然，线性规划是一个比较深入的课题，教材中也介绍了更多变量的线性规划问题，可引导学生进一步学习.

线性规划问题的考查特点与趋势

1. 转化成基本线性规划问题

常规考题考查知识与技能，但还需要学生有一定的转化和化归意识，命题者会在行文叙述、符号变化、算式特征等方面设置一定障碍，需要解题者对得到的信息加工出熟悉的数学模型.

例1 （江苏2013年9题）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）. 若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是__________.

分析：本题以抛物线的切线为背景，以文字叙述的方式提供了可行区域，题中曲线切线利用导数可得.

解决：求导得y′=2x，切线方程为y=2x-1 ，转化为等价的基本问题：约束条件为x≥0，y≤0，y≥2x-1，目标函数z=x+2y. 作出图形，易知z的取值范围为-2，.

例2 设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是__________.

分析：如何将其化归成基础问题，找到未知问题和基本题之间的桥梁是破解的关键.

解法一：整体代换，令xy2=m，=n，

那么==，转化为等价问题：约束条件为3≤m≤8，16≤N≤81.目标函数为z=，z几何意义为对应区域内动点与坐标原点连线的斜率，易得最大值为27.

解法二：将除法转变为和或差，题中代数式两边都取以2为底的对数，令log2x=A，log2B=y. 转化为等价问题：约束条件为log23≤A+2B≤3，2≤2A-B≤2log23，目标函数为z=3A-4B，可行区域如图，容易求得z的最大值为3log23，那么=2z的最大值是27.

图2

点评：解法一采用了整体换元，解法二采用了取对数化积为和、化除为差，通过转化和化归转化成已经解决过的基本问题.

2. 线性规划问题的拓展延伸

（1）线性规划问题中目标函数的拓展

熟悉线性规划基本题还远远不够，深刻把握它的数学特点和数学思想，在实际处理问题中将未知问题转化为基本题才更重要. 那么该类问题的基本特点是什么，常见问题是什么？只有清楚这些，我们才能在实际处理过程中及时、敏锐地转化问题，达到解决问题的目的.

以下提供最常见的基本类型；

约束条件：实数x，y满足y≤x，y≥0，2x-y≤2，可行区域如图3.

图3

目标函数（1）：z=3x+y的最大值是__________，z的几何意义即直线y=-3x+z的纵截距；

目标函数（2）：z=的最大值是__________，z的几何意义即可行区域内动点P（x，y）与点（-1，0）所连直线的斜率；

目标函数（3）：z=的最大值是__________，z的几何意义即可行区域内动点P（x，y）与点（0，1）之间的距离.

与线性规划相关的问题普遍具有一些基本特征，主要表现为已知条件是含“双变量”的不等关系，目标任务为代数式的最值或取值范围问题. 可解决的目标函数也不一定是线性代数式，可以为其他类型.常见的可以为乘积或比值形式、二次或根式形式，甚至可以用向量等给出的代数式. 也不一定拘泥于目标函数的最值问题，也可成为以可行区域为背景的面积、向量、概率等问题.

（2）线性规划问题中约束条件的拓展

我们可以将它的数学思想拓展得更宽. 约束条件不一定要是线性约束条件，相应的平面区域也可以为直线、圆、曲线等构成的复合形态.

例如：实数x，y满足x2+y2=1，则x+y的最大值是__________.

此题可行区域可认为是圆，可视为曲线圆与直线x+y=m有公共点. 由此看来，约束条件的给出有了更大的空间，线性规划这个知识点也更容易渗透到其他数学知识点中.

例3 若a>0，b>0且+=1，则a+2b的最小值为__________.

分析：题目涉及两个变量的等量关系，可以考虑减元处理，已由代数式整理得a=-b++1，结合基本不等式解决a+2b的最小值；也可以考虑其几何意义，视作以b为自变量的函数，那么P（b，a）为函数图象上的每一个点.

图4

解决：a=-b++1，令z=a+2b，z表示此直线的纵截距.当直线与曲线相切时z最小，此时a′=-2.求导a′=-1-，所以b=，a=-++1=+，所以a+2b=+.

例4 （江苏2012年14题）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是__________.

分析：此题和基本问题的相似度极高，已知条件含有3个变量，而且目标函数为比值形式，有明确的几何意义. 由代数式clnb≥a+clnc的逻辑计算知ln≥，由此得到转化的突破口，可转化为两个变元.

图5

解决：已知两个不等式同除c得到5-3≤≤4-，ln≥.记=x，=y，

转化为等价问题：

约束条件为x，y>0，5-3x≤y≤4-x，lny≥x？圳y≥ex，目标函数k==.

作出图形，利用导数求出曲线y=ex过坐标原点的切线为y=ex，发现切点T（1，e）在可行区域内. 综上，直线y=kx过C点时k最大，与曲线y=ex相切于点T时k最小. 所求取值范围为[e，7].

图6

点评：三变量的问题转化为两变量问题，该问题的解决具有一定的代表性.由已知代数式还可以考虑同除a或b进行转化，不是每一个转化都适合，但有些转化又是相通和可行的，因此求解时需要一定的尝试和观察.

3. 线性规划问题的知识迁移

有些数学问题并无明显的线性规划痕迹，却也可以转化成线性规划的基本问题，比如解析几何、函数、数列等含有多个变量的数学问题可采用线性规划的方法来求解. 以下试题立足于课本，但高于课本，题目充分体现了命题教师的高瞻远瞩，而反过来又对高中的教学提出更高要求.

例5 （江苏2011年14题）设集合A=（x，y）≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R，B={（x，y）2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠，则实数m的取值范围是__________.

分析：两集合为点集，交集非空.思考难度超越课本，类比线性规划，将其转化为两个平面区域有公共点，同时本题的计算量大.

解决：集合A对应区域为D1，集合B对应区域为D2，D2容易认识为两平行直线确定的带状区域. 由区域D1非空可知m2≥，求得m≤0或m≥.

（1）m=0区域D1收缩为一点，容易判断不满足要求；

（2）m≠0区域D1又分为两种情况，当m0时表示两个同心圆确定的环形区域.不论哪种情况，要满足题意，只需要保证圆（x-2）2+y2=m2和直线x+y=2m或直线x+y=2m+1其中之一有公共点. 圆心到两直线距离分别为d1和d2，且d1=，d2=. 所以d1≤r=m或d2≤r=m，容易解得m∈1-，2+，综合以上分析，实数m的取值范围是，2+.

点评：问题描述采用了几何语言，解决思路和线性规划有类似之处，同时解析几何背景很强，充分考查了直线和圆的位置关系，而且分析时利用分类讨论细化，处理时又不讨论集中解决，思维跳跃度很大.

例6 已知a，b为常数，a≠0，函数f（x）=a+ex. 若f（2）

分析：此题仅仅从表象上看到已知条件对变量a，b作了限制，与线性规划知识点的相关性相当隐蔽. 该题目变量的关系相互依赖性较强，关键从已知条件合理的抽离出最有效约束条件.

图7

解决：由f（2）

点评：g（x）=ax2+bx-b≥0恒成立分析较难，考虑不等式成立的必要条件攻克了这个难点，根据代数式的依存关系得到约束条件，画出图形，所求面积视为两个三角形面积差.

以上可以看出这些问题和教材中很多知识点综合，都需要学生具备良好的知识迁移能力. 包括高考在内的众多考题都或多或少地含有线性规划知识或思想的若干部分，这样的考题都具备一定的难度，成为命题的热点题型，在考试中层出不穷.

教学感悟与思考

线性规划范文第2篇

【关键词】研究性学习；线性规划；教学改革

随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。我们本着教学过程始于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。主要是把实际问题抽象为数学模型，使其在约束条件下，找到最佳方案。也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。

1 线性规划问题

在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹

安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安排使用它们，才能使得完成的任务最多。

例如1-1：某工厂需要使用浓度为 的硫酸10 ，而市场上只有浓度为 ， 和 的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多少？才能满足生产需求，且所花费用最小？

设取浓度为 ， ， 的硫酸分别为 千克，总费用为 ，则

2 线性规划问题的模型

2.1概念

对于求取一组变量 使之既满足线性约束条件，又使具有线

性目标函数取得最值的一类最优问题称为线性规划问题。

2.2模型

3线性规划问题的求解

3.1图解法

在平面直角坐标系中，直线 可以用二元一次方程 来表示，点 在直线 上的充要条件是 ；若 不在直线上，则 或 ，二者必居其一。

直线 将平面分为两个半平面 和 ，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式，要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如原点或坐标轴上的点来检验。另外有如下结论：

（1）若 ，则 表示直线 右侧的半平面， 示直线 左侧的半平面。

（2）若 ，则 表示直线 上方的半平面， 示直线 下方的半平面。

例1-1中，设取浓度为 ， ，的硫酸分别为 千克，取 的硫酸为 千克，总费用为 ，则

当直线 ： 向右上方移动，经过可行域上的 点，此时直线距离原点最远， 取得最大值。由 得 点的坐标为 ，代入 得， .

从图解法来看，它只适用线性约束条件中决策变量为二元一次线性规划问题的求解.对于含有三个或三个以上的求解，用图解法无法下手.如何求多元线性规划问题的解呢？下面我们以例1-2为例，介绍单纯形法的求解方法.

3.2单纯形法

显然，第一行中 的值最小，故选 进基，将第一行乘以0加到第二行，再将第一行乘以 加到第三行，然后再将第一行乘以 加到第四行，得到下表：

4 线性规划的简单应用

4.1物资调运问题（产销平衡）

运输问题一般是某种物资有 个产地 ，产量分别为 个单位；有 个销地 ，销量分别为 个单位， 与 之间的单位运价为 ，问应如何安排运输的方案，才能使总运费最低？

[例] 甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为300t，750t，A、B、C三地的需要该产品得数量分别为200t，450t，400t，甲地运往A、B、C三地的费运分别为6元/t， 3元/t，5元/t，乙地运往A、B、C三地费运分别为5元/t，9元/t，6元/t，问怎样调运，才能使总运费最低？

如果甲生产的产品运往B之后有剩余，而且也满足B地的需求量，我们应将B所在的列的元素全部划掉，然后在剩余的元素中再找最小元素，依次类推。

4.2合理下料问题

下料问题是加工业中常见的一种问题，其一般的提法是把一种尺寸规格已知的原料切割成给定尺寸的几种毛坯，问题是在零件毛坯数量给定的条件下，如何割才能使废料最少？

[例] 某工厂有一批长为2.5m的条形钢材，要截成60cm和42cm的两种规格的零件毛坯，找出最佳的下料方案，并计算材料的利用率。

解法一：设每根钢材可截成60cm长的毛坯

x根，42cm长的毛坯y根，按题意得不等式

，画出直线 ： 的图象，如图（4）。

因为要截得的两种毛坯数的和必须为正整数。

所以 ，的解为坐标的点一定是第一象限内可行域的网格的交点。

如果直线 上有网格交点，那么按直线上网格交点的坐标 的值为下料方案，这时材料全部被利用，此方案就是最佳方案。从图上看直线 不能过网格交点。在这种情况下，为了制定最佳方案应该找靠近直线 的网格交点。当然不能在直线 的右上方的半平面内找网格交点，右上方的半平面任何网格交点坐标都使 。这时两种零件毛坯长度和超过原钢材的长度，这是不合理的，所以问题的最优解不能在这个区域找。

这样，下料的范围只能在 表示的可行域内，在直线 的左下方半平面内找最靠近直线的网格交点，得点 ， 就是所求的最优解。材料利用率为 。

解法二（列举法）：

4.3生产安排问题

生产安排问题是企业生产中常遇到的问题，用若干种原料生产某几种产品，原料供应有一定的限制，要求制定一个产品生产计划，使其在给定的资源限制条件下能得到最大收益。如前面的例1-2就是生产安排问题，我们不再举例。

本文着重研究线性规划的一些简单的应用及其求解方法。图解法是我们解决一些二维线性问题的最基本的方法，应该必须掌握，对于三维或三维以上的可利用单纯形法求解，单纯形法可以用来求一些比较复杂的线性规划的问题，有兴趣的同学可参阅《运筹学》。通过本文的介绍，要学会解决简单的应用问题，拓展解题思路，培养解决实际问题的能力。

参考文献：

[1]袁小明.数学思想史导论[M].广西教育出版社，1991.

线性规划范文第3篇

一、目标函数中含有参数

这个参数往往与直线的斜率有关系，并且已知最优解，因此解题时可充分利用斜率的特征加以转化。

1.目标函数中的系数为参数

例1、(2009年陕西理11)若x，y满足约束条件x+y?叟1x-y?叟-12x-y?燮2，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（ ）

A. (-1,2) B. (-4,2) C. (-4,0) D.(-2,4)

分析：明确a的几何意义，与直线的斜率有关，根据图形特征确定怎样才能保证仅在点（1，0）处取得最小值。

解：作出约束条件所形成的区域图形，目标函数化成y=-■x+■，则斜率k=-■，截距为■，要使截距最小，则-1

2.目标函数中的系数为参数

例2 (2006湖北理) 已知平面区域D由以A(1，3)，B(5，2)，C(3，1)为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数z=x+my取得最小值,则m=（ ）。

A.-2 B.-1 C.1 D.4

分析：最优解有无穷多个，往往是指目标函数与其中一条直线重合，此外要注意到参数为或的系数上的不一致。

解：要使目标函数z=x+my的最优解有无穷多个，则直线z=x+my应与直线AC或AB，BC重合，但要使目标函数Z=X+my取得最小值，必须使得函数斜率为负值，且斜率的绝对值要大，从而只能与直线AC重合，则-■=kAC=-1，所以m=1，选C。

3.目标函数中x,y的系数均为参数

例3 (2009年山东理12) 设x，y满足约束条件3x-y-6?燮0x-y+2?叟0x?叟0,y?叟0，若目标函数z=ax+by，(a>0,b>0)的值是最大值为12，则■+■的最小值为( )。

A.■ B.■ C.■ D. 4

分析：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求■+■的最小值常用乘积进而用均值不等式解答。

解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线z=ax+by(a>b,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,4a+6b=12,即2a+3b=6,而■+■=(■+■)■=■+(■+■)?叟■+2=■,故选A。

二、约束条件中含有参数

约束条件中某一个约束条件含有参数，意味着约束条件是变动的，这种变动导致了目标函数最值的变动。

1.已知目标函数最值，求参数的值

例4 （2010年浙江理7）若实数，满足不等式组x+3y-3?叟0，2x-y-3?燮0，x-my+1?叟0，且z=x+y的最大值为9，则实数m=（ ）。

A.-2 B.-1

C.1 D.2

分析：已知目标函数的最值求参数的值，关键是找到最优解，代入到目标函数中，求出参数的值。

解：不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y=-x+z，则当直线y=-x+z过A点时z最大，由2x-y-3=0，x-my+1=0，得到A(■，■)，代入目标函数得■+■=9，所以m=1。

2.已知目标函数最值范围，求参数的范围

例5 (2011年高考湖南卷理科7)设m>1，在约束条件y?叟xy?燮mxx+y?燮1下，目标函数Z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为

。

分析：本题关键是理解参数的几何意义是直线的斜率，找到关于m的一个不等式。

解：不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y=-■x+■，(m>1)，则-1

线性规划范文第4篇

作者：吴可杰姜近勇单位：南京大学经济系

线性规划理论广泛应用于军事、经济、工业、农业等国民经济的各个部门，除了这种方法能解决各个部门提出的生产力布局、作业计划、原料配制、产品搭配等实际问题外，还因为线性规划模型本身，以及它们的解题方法和应用分析，能够比较容易地为一般没有较深数学基础的经营管理人员所理解和掌握，特别是借助于电子计算机的专用程序，不仅能加快运算速度，而且能解决上百.上千个变量的复杂模型;线性规划不仅能求得问题的最优解，而且还可以提供经济分析的数据资料。在线性规划的应用分析中所涉及到的一个重要概念是影子价格，它是数学规划理论与经济分析相结合的产物。影子价格通常反映资源最佳利用状况，是对资源的边际收益或衣品的边际成本的一种估价。利用线性规划和影子价格可以为区域经济规划提供有用的数量信息。本文试图用数学语言来说明线性规划和影子价格，并讨论它们的经济意义以及在区域经济规划中的应用。

一、线性规划模型的一般形式是:在约束为:（式略）这是一对具有特殊性的配对的规划模型，我们可以把一个问题称为“原问题”，另一个问题称为“对偶问题”。下表总结出了从一个已知的原问题转换为对偶问题的规律，这些规律是假设已经有了一般模型的方程式，然后根据这些规律建立它的对偶模型(见表)。对偶问题与原问题是一个问题的两个方面，对偶问题可以从不同角度提供观察问题的另一种方法，有时还可以简化运算。在利用单纯形法解原问题时，同时就可以得到其对偶问题的解。反之，求得对偶问题的解，同时也就可得到原问题的解。它们之间的一个重要关系即是:若原问题与对偶问题均属可解，且原问题最优解为（式略）即:刘.偶问题与原问题的目标函数最优值相等。所谓影子价格，就是指由于线性规划模型中约束条件右端项B的某一分量(比如bi，i二l，2，…，n)增加一个单位而引起的目条件下，’原问题与对偶问题的目标函数最优值是相等的，即:（式略）如果bi增加一单位，则目标函数最优值就会相应增加y，’单位，而yj件即为对偶问题最优解Y’的第i个分量。由此可见，第i项约束条件的影子价格就是其对偶问题最优解的第宜个分量。而且从上式还可以看出，只要对偶问题的最优解不变，其影子价格也就保持常数值不变。影子价格与商品价值没有任何联系，它纯粹是一种计算价格。根据国民经济既定的计划目标及一定时期资源的可供给量和消费需求，可以建立一系列线性规划模型，计算出各种资源的影子价格，然后在影子价格的基础上形成计划价格作为经济调节的工具，以保证资源的利用最大限度地符合计划目标。这样制定的价格在苏联称为“最优计划价格”，这种价格理论突出资源的有限性，从而强调资源的节约和合理配置。苏联最优计划价格理论的主要代表人物有康托洛维奇、诺沃日洛夫、赞多连柯等，他们对最优计划价格理论进行了逐步深入的研究。’1966年11月，苏联科学院经济数学研究所所长费多连柯在其所作的报告中对最优计划价格的形成过程进行了详细的说明。他假定国民经济分为企业、部门、中央三个层次，具体的价格形成过程为:1.企业将其生产能力与投入系数以实物形式报到部一级，进行汇总，形成综合指标。2.部门将综合指标报送中央，经再一次汇总，得到部门间的生产和消费的约束条件，根据国民经济发展的最优性标准妥在中央一级求解线性规划，决定各部门的资源消耗与产品产量，并根据资源的影子价格确定相应的资源与产品价格。3.资源与产品的价格下达到部门、企业，部门与企业在利润最大化的目标下决定自己的生产计划，再次报送上去，到达中央层次汇总。4.中央将自己的原始计划与部门报来的计划进行对比调整，供过于求的资源价格要降低，反之则提高。然后再次下达价格。如此经过多次调整后，一定能找到一组资源影子价格及据此确定的资源和产品价格卜使资源得到最优利用，社会需要得到最大常‘足。费多连柯认为，借助电子计算机，能使这种多次反复的计算在较短时间内完成。

二、区域经济规划是社会主义建设中;一个长期的、具有战略意义的工作。合理.的区域经济规划是高速度发展我国社会主义经济、加速实现四化的需要。它有利于充分利用各地区的自然资源、劳动力资源等生产要素，促进其经济的发展;有利于加强各地区之间的协作，建立其不同水平各具特点的国民经济休系;有利于促进工农、城乡联系，逐步消除工农之间、城乡之间的本质差别;此外，对于提进少数民族地区、山区和边远地区的经济发展、对于巩固和加强国防建设也具有重要意义。进行区域经济规划，要从国家关斗“长远规划的总体设想这一全局出发，根据各地区的自然资源和经济条件，确定其工业发展的方向，结构、资源的综合利用、工业的合理布局以及其它各项设施的合理配置。因地制宜、发挥地区优势是区域经济规划首先要解决的问题。地区之间，由于自然和社会因素的差别，经济发展不平衡是一种正常现象。在我国社会主义建设中，曾一度片面追求平衡、追求“大而全”“小而全”的经挤体系，造成地区经济结构不合理，社会经济效益非常差。例如，为了扭转北煤南运的局面，曾在江南贫煤区发展煤炭工业，其结果不仅耗费大量投资，而且问题也没得到解决。如果各地区都能发挥自己的优势，扬长避短，择优发展，宜粮则粮，宜牧则牧，宜钢则钢，宜纺则纺，我国经济实力就会有很大提高，生产力布局就会得到很大改善。利用线性规划.可以帮助我们确定不同地区的经济发展方向。假设甲乙两地分别拥有资金j0千元，甲地每千元投资生产某种原材料，年产量可达300吨，而投资加工这种原材料，则年加工成品量为100件;乙地每千元投资用于生产这种原材料，年产量只有10。吨，而投资用于加工这种原材料，则年加工成品量可达300件。甲地每百吨原材料的净产值为3万元，乙地为2万元;甲地每百件加工成品的净产值为2万元，乙地为4万元。怎样确定两地的经济发展方向才合理呢?对两个不同经济区，分别建立两个独立的线性规划模型‘以文，、x:分别代表甲地原材料和加工成品的计划产量，（式略）分别代表乙地原材料和加工成品的计划产量。用Z、Z”分别攀表甲乙两地的净产值。甲地的规划模型为:在约束为:（式略）求解可得出甲地规划模型的最优解为二二30百吨，x:=。百件，最大净产值为Z二9。万元。‘乙地规划模型的最优解为（式略）“加百件，最大净产值为Z’二120万元、这就是说，甲地专门生产原材料，乙地专门加工原材料，、两地的净产值都达到最大值。又由于甲地资金的影子价格为W=9，乙地资金的影子价格为W’二12，如果要追加投资的话，应优先考虑向乙地投资，即向专门加工原材料的地区投资。当然，扩大加工工业的生产规模，必须要保证原材料的供应。•但是，在上面的线性规划模型中，目标函数中的净产值系数是根据资源和产品的现行价格确定的。而我国现行的价格体系，由于过去长期忽视价值规律的作用以及其它历史原因，存在着相当紊乱的现象，不少商品的价格既不反映价值，也不反映供求关系，其中，特别是矿产品、原材料和能源价格偏低。按现行价格计算，生产原材料和能源收益不大，甚至亏损，而生产加工业品则利润很大。例如，开采铁矿的资金盈利率只有5%，煤矿则更低，炼钢、炼铁也很低，而轧钢的资金盈利率有的品种达20%~30%，有的甚至高达如%~70%。由于原材料和能源价格偏低，一方面难以调动原材料和能源开发区努力增产的.积极性，原材料和能源开发区缺少活力。另一方面造成原材料和能源消耗高的加工部门相对膨胀，这些部门利用廉价的资源获得高额的利润，而.且由于原材料和能源太便宜，加工部门不重视原材料和能源消耗管理，浪费严重。这种情况势必造成原材料和能源供求不平衡、严重短缺，影响整个国民经济。就能源来说，由于燃料动力供应不足，全国有l/4的企业开工不足，有20%~30%的设备能力不能充分发挥作用，一年大约要损失工业产值750亿元。因此，不改革现行不合理的价格体系，就不能正确评价各地区的经济效益，促进地区经济合理发展。即使借助于某种科学的方法做出地区经济规划，也还是不切实际的。在上面‘的例子中，由于原材料价格偏低，造成甲地(资源开发区)比乙地(加工工业区)的资金影子价格低，同样的投资在甲地不如乙地的收益大，势必造成投资向乙地转移。如果将原材料价格提高，使其净产值达到每百吨4万元，则甲地与乙地的资金影子价格相等，都为12，这时如果追加投资，两地的机会就是相同的。又假设乙地只使用甲地生产的原材料，其供应量为10(百吨)，且原材料消耗系数为0.5，则乙地线性规划模型的约束条件变为:（式略）解新的规划模型，可以得到原材料的影子价格为6粤，远远高于甲地百吨原材料的净产值。这就说明，整个社会增加一单位原材料对加工部门净产值的贡献要比对原材料生产部犷1净产值的贡献大。这样必然会刺激原材料的消耗，压抑原材料的生产，造成原材料短缺。如果提高原材料的价格，使乙地加工成品的净产值降为每百件:喜万元，这时原材料的影于价格为3万元，与甲地百吨原「材料的净产值相等。这样就有利于促进原材料生产和消费的平衡。因此，我国现行不合理的价格体系哑待改革，原材料、能源、矿产品等资源的价格巫待提高。对于资源定价间题，由于影子价格既能反映资源的效能，又能反映资源的稀缺程度，因此要达到合理地利用有限资源，更好地反映社会经济效益，利用影子价格作为我国资源定价的主要依据是可行的。而且从整个国民经济来看，资源的影子价格体系确实客观存在，找到这样的价格体系应该是价格改革的追求目标。还有人将影子价格推广到用各种方法计算出来的非自然形成价格以及由国际市场引进的价格都可以称为影子价格。我国实行对外开放政策以来，进出口贸易大幅度增长，以国际市场价格作为可外贸货物这一类资源的影子价格，也可以帮助我们制定合理的资源价格。线性规划应用于区域经济规划的另一个重要方面是合理分配有限的资源，即是使有限的资源发挥最大经济效益。假定某一地区有m个生产部门，利用‘n种有限资源生产，知道各部门单位产品的净产值和投入产出系数，得出一个线性规划问题。求解这个线性规划，不仅能知道现有条件一F各种资源的最优分配，而且可以确定各种资源的影子价格，为计划投资提供信息。影子价格可以反映规划中各种资源的相对稀缺性，影子价格越高，说明这种资源越短缺，增加其投入能带来更多的社会总产品。影子价格为零的资源为过剩资源，追加这种资源只会造成浪费。假设某一地区轻纺工业部门生产甲产品(单位为千米)的最大生产能力为]。0，冶金工业部门生产乙产品(单位为吨)的最大生产能力为40。，两种产品都要消耗资源A，其消耗系数分别为0.01和0.03，而资源A的可供量为10。又设在合理的价格体系下甲产品每千米的净产值为5(百元)，乙产品每吨的净产值为2(百元)。为了求资源A的最优分配方案和确定投资的轻重缓急，可以把上述问题化为求净产值最大的线性规划模型。设x，、xZ为甲、乙两种产品的产量，在约束为:（式略）用单纯形法求得最优解为:（式略）并得到甲产品、乙产品和资源A的影子价格分别为:（式略）以上结果给出了甲产品和乙产品的最优产量，给出了资源A分配的最优比例:10单位资源A供应轻纺工业部门1单位(100x0.01)，供应冶金工业部门9单位(300X0.03)。同样，根据影子价格，资源A的影子价格最大，说明增加资源A的投入可以较大地提高净产值，其次是产品甲，产品乙的影子价格为零，说明增加产品乙的产量，并不会提高净产值，而只会造成浪费。因此，本地区应优先考虑向生产资源A的工业部门投资，一其次向轻纺工业部门投资，暂停向冶金工业部门投资。进一步还可以通过比较资源的影子价格和市场价格来判断资源投入是否有利。在生产已达最优结构时，如果某一资源的影子价格高于其市场价格，继续投入这种资源就可以增加收益。假定上例中资源A的影子价格高于其市场价格，则应再购进资源A扩大生产规模。相反，如果影子价格低于其市场价格，将资源A投入生产就意味着亏损，这时应卖出一部分资源，其收益要比将资源A用来生产大。‘问题是在某地区某资源的影子价格低于其市场价格，而在另一地区完全有可能高于其市场价格。这样，通过物资的调配后，整个社会从宏观上讲就会有更好的效益。可见，应用线性规划和影子价格，可以使资源达到最合理的分配，纯收益达到最大。

三、在我们前面所分析的例子中，出现了这样的问题:在生产资源A的工业部门、轻纺工业部门以及冶金工业部门中，优先向生产资源A的工业部门投资，其次向轻纺工业部门投资，那么投资数额为多少最合理?又如果资源A的影子价格高于市场价格，则购进多少资源A扩大生产规模为最优?反之，如果资源A的影子价格低于市场价格，则应卖出多少资源A才能保证有最大收益?要解决这些问题，可用灵敏度分析加以精确计算。灵敏度分析就是当线性规划模型的参数变动时，分析其对最优解结果的敏感程度和范围。因为在实际工作中经常存在着许多不确定性因素，模型中某些参数会随着情况变动而产生波动，因此就必须对这些参数变化所引起的结果有比较精确的估计。灵敏度分析包括三个方面:一是涉及到约束条件方程中hi值变化的分析;二是涉及到目标函数中系数C;值变化的分析;三是涉及到约束条件中技术性系数aij变化的分析。在我们前面有关影子价格问题的讨论中，所涉及到的都是约束条件方程中bi值变化的问题。以资源A的影子价格与市场价格的比较为例。假设资源A的影子价格高于其市场价格，我们要确定资源A的最优购进数量。首先，利用灵敏度分析计算出在资源A的影子价格(也即对偶问题的最优解)不变的情况下，资源A约束右端项的变动界限。即资源A的约束在这一界限内，其影子价格不变。然后，让资源A的约束右端项突破这一界限的上限，在新的约束下，求资源A的影子价格。如果这一影子价格低于市场价格，则原约束右端项的变动上限与现有资源A的数量之差，就是应购进的资源A数量。如果资源A的影子价格仍然高于市场价格，则重复以上步骤。直至求出资源A的最优购进数量为止。

线性规划范文第5篇

论文摘要 线性规划是运筹学的一个基本分支，它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决实际中的问题，帮助决策人员选择最优方针和决策。本文主要研究如何把线性规划的知识运用到企业中，使企业能够提高效率，通过建立模型并利用相关软件，对经济管理中有限资源进行合理分配，从而获得最佳经济效益。

一、 线性规划在企业中运用的必要性

随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只有自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大化。在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式，是难以生存的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。

在各类经济活动中，经常遇到这样的问题：在生产条件不变的情况下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好。这样的问题常常可以化成或近似地化成所谓的“线性规划”（Linear Programming，简记为LP）问题。线性规划是应用分析、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现有效管理。利用线性规划我们可以解决很多问题。如：在不违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高）。也可以在满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。同时还可以在任务或目标确定后，统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成任务。下面我们用线性规划方法对企业在生产中的具体问题进行探讨。

二、线性规划的模型

线性规划是运筹学的一个重要分支，自1947年丹捷格提出了一般线性规划问题求解的方法---单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟，在实际中日益广泛与深入。特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。

线性规划问题的一般形式为：

其中为待定的决策变量，已知的系数组成的矩阵称为约束矩阵。

以前人们在用这个模型求解时计算非常麻烦，而近几十多年来，由于电子计算机应用的飞速发展，应用计算机处理线性规划问题使人们求解变得越来越容易了。LINDO软件是解决线性规划问题的有力工具，它可用于解决50000个约束条件，20000个变量的线性规划问题，所以线性规划的具体运用也越来越受管理者的重视了。

三、线性规划在企业中的应用

下面我们从企业在进行制定生产计划、设备使用、材料的使用、配料分配、运输、广告促销几方面看看如何运用线性规划使企业得到最优方案。

(一)设备利用

例2:某加工配送中心应客户要求，加工配送甲、乙两种产品，而这两种产品的加工可使用A、B、C三种加工设备。每种设备对两种产品的加工效率不同，怎样合理安排加工任务，使一个工作日内成套（甲乙各生产1件）产品最多。

解：设A加工甲、乙产品的数量为；设备B加工甲、乙产品的数量为；设备C加工甲、乙产品的数量为.从而可得数学模型为：

运用LINDO软件，求得

即用A加工甲件，用B加工甲件，加工乙件，用C加工乙件，使产品在一个工作日生产170件（85套）达到最大。

四、把线性规划知识运用到企业中的作用和意义

把线性规划的知识运用到企业中去，可以使企业适应市场激烈的竞争，及时、准确、科学的制定生产计划、投资计划、对资源进行合理配置。过去企业在制定计划，调整分配方面很困难，既要考虑生产成本，又要考虑获利水平，人工测算需要很长时间，不易做到机动灵活，运用线性规划并配合计算机进行测算非常简便易行，几分钟就可以拿出最优方案，提高了企业决策的科学性和可靠性。其决策理论是建立在严格的理论基础之上，运用大量基础数据，经严格的数学运算得到的，从而在使企业能够在生产的各个环节中优化配置，提高了企业的效率，对企业是大有益处的。

参考文献

[1]管梅谷，郑汉鼎.线性规划.济南:山东科学技术出版社，1983.

[2]运筹学教材编写组.运筹学.北京:清华大学出版社.2005.(6)