线性代数范文第1篇

【关键词】线性代数 教学

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）26-0090-01

一 线性代数的重要性

数学作为最古老的学科之一，对于人类社会的发展、科学的进步起着举足轻重的作用。随着知识的细化，数学领域有了许多分支，线性代数就是其中之一。线性代数是大学必修的一门数学基础课，它以其理论上的严谨性、方法上的灵活多样性以及与其他学科之间的渗透性，使得它在自然科学、社会科学及工程技术等许多领域都有广泛的应用。且线性代数对学生逻辑思维能力、抽象思维能力及事物认知能力的培养也至关重要。另外，线性代数可为解决实际问题提供重要方法，因为在现代研究中我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要研究多个变量之间的关系，而各种实际问题可以线性化，由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。同时线性代数也是学习其他许多课程不可缺少的基本工具。

二 线性代数的“难”

线性代数具有高度抽象、逻辑严密、符号独特、方法灵活等特点，概念多、定理多、结论也多。学生普遍反映线性代数学起来难度较大，较吃力。理论性过强，感觉没有实际用处，普遍印象空洞枯燥，教材实例太少。部分学生反映听课状况良好，但前后知识联系不起来，形不成知识体系，面对题目束手无策。

三 变线性代数“难”为“不难”

1.及时对难点进行总结概括

对于学生认为不易掌握的方法、技巧，在教学过程中及时进行总结。如行列式的计算是初学者学习的重点也是难点，在教学过程中，对行列式部分在简单介绍行列式的定义及性质后，重点要求学生掌握计算，由于行列式的类型多种多样，使得行列式的计算有很大的难度，通过总结行列式的解法，使学生更好地掌握这一重难点，在教学过程中，与学生总结几种求解行列式的方法。（1）定义法：利用行列式按某行（列）展开公式，将高阶行列式降成低阶行列式。（2）化三角形行列式法：利用行列式性质将行列式化为上三角或下三角形行列式，从而得出结论，这是一种常用的方法。（3）逆推法：这种方法的一般步骤是从原行列式出发，找到高阶行列式和一个或几个同型低阶行列式间的关系式后，再归纳运算结果。（4）拆开法：当行列式中某行元素有两数相加时，将行列式拆成几个简单的行列式加以计算。（5）范德蒙行列式法：这种方法是将行列式利用性质化为范德蒙行列式，再利用其结果计算出原行列式的值。

在教学过程中，应告诉学生各种方法并不局限于某种行列式，而且一个行列式也不只局限于某种方法，鼓励学生利用不同方法解决同一问题，有利于培养学生的发散思维能力及综合能力。

2.帮助学生消除抽象感

抽象性是困扰学生学习线性代数的最大障碍。现行的线性代数教材普遍有一个缺点，就是缺少知识背景，编写上完全采用逻辑演绎的形式，从定义到定理，从概念到结论，不是按问题解决的方式来展开知识内容，而且，定理往往是成堆地集中出现，让学生应接不暇，这是抽象的主要根源。这样就导致学生的学习始终处于一种迷惘状态。因为任何的抽象都是来自具体的，每一种抽象又是可分层次的，由低向高逐级而来的，所以，要找到每一个问题的源头，使所讲内容具体化、形象化。

第一，类比法。虽然线性代数的内容很难找到生活实例，但和中学的代数还是有一定联系的。在讲解某些概念时，可以与初等代数中的概念进行类比。

第二，引导法。先给出一个简单的实例，引导学生将其逐渐复杂化，当复杂到一定程度用以往知道的概念已经很难描述时，再给出新的概念。如讲矩阵的秩的概念时，先让学

生观察一个方程组，如 ，问学生这3

个方程之间是否有联系，是否可相互推出，有的同学就会发现第三个方程可以由前两个方程推出，即3个方程中“有效方程只有2个”。然后再举稍复杂的方程组，让学生继续观察，说明有效方程的个数即是阶梯形矩阵中非零行的个数的重要性。需要下个定义，最后再抛出矩阵的秩的概念。

3.帮助学生总结一些结论

在具体教学中应该注意多帮助学生总结短小、简练、朗朗上口的结论。如讲行列式的性质时可以总结为：特殊性质――换行、转置，一般性质――数乘、代数和、数乘+代数和。

四 结束语

教好线性代数是我们必须重视的一项任务，既需要学校的高度重视、支持，也需要任课教师不断总结教学经验，及时解决教学中出现的问题，更新教学理念，将老师的教和学生的学有机地结合起来。只有这样，才能变线性代数“难”为“不难”。

参考文献

线性代数范文第2篇

针对线性代数课程课时比较紧张的现状,同时结合学生对知识的接受规律,对一些章节的讲授做了适当调整。首先,对于相对比较抽象而冗长的证明,主要布置给学生作为课后作业进行阅读和理解,让学生主要以了解证明思路为主,例如代数基本定理的证明,矩阵的行秩与列秩相等等问题和定理的证明。其次,教材中所有带*号的内容都不在课堂上讲授,把那些相对重要的内容作为学生的课后读物,例如最小多项式以及λ―矩阵相关内容。同时,把第四章等的内容进行调整,把初等矩阵的知识放在分块矩阵的前面,主要是希望学生能通过初等矩阵的学习,了解矩阵的行或列的整体性,从而帮助学生理解分块矩阵。

2 充分挖掘和利用知识点的关联

线性代数知识以线性代数理论为重点,而在线性代数中,矩阵理论是核心,所以以矩阵理论为主线,线性代数各知识点之间有着密切的关联。如何利用这些知识点的关联帮助学生理解线性代数的知识结构是线性代数教学的关键,在实际教学中,可以抓住以下几个关系:

2.1 向量理论与矩阵理论的关联

向量可以看作只有一行或者只有一列的矩阵,同时矩阵的行或者列都分别可以看作行向量或者列向量,于是矩阵就可以看作一个行向量组或者列向量组;反过来,一个向量组又可以“拼凑”成一个矩阵。抓住这样的关系,向量与矩阵的知识就可以相互关联,例如:

例1:求向量组α=(1,0,0,a),α=(0,1,0,b),α=(0,0,1,c)的秩,其中a,b,c为任意常数。

2.2 矩阵理论与线性方程组理论的关联

矩阵理论与线性方程组理论的关联是很明显的,比如与线性方程组密切相关的系数矩阵和增广矩阵,可以通过系数矩阵和增广矩阵的秩的关系判断线性方程组的解的情况,但利用方程组的理论解决矩阵问题却经常被忽视,比如下面的问题:

例2:若AB=0,证明:r(A)+r(B)≤n,其中r(A)表示矩阵A的秩。

证明思路:首先对矩阵B进行分块得到(β,β,…,β),可得:

从而Aβ=Aβ=…=Aβ=0,这样矩阵B的每一个列向量都是齐次线性方程组AX=0的解,由齐次线性方程组的相关理论容易证明r(A)+r(B)≤n。

2.3 其它知识点的关联

线性代数中其它知识点的关联还有很多,比如:(1)矩阵理论与线性变换理论的关联,因为任何一个线性变换在一组基下都有一个矩阵和它对应,同时线性变换的运算和矩阵运算有对应关系;(2)多项式理论与矩阵理论的关联,一个矩阵是否可对角化与它的最小多项式是否有重根有关系;(3)欧氏空间理论与对称矩阵理论的关联,等等。

3 通过思考题调动学生的思维积极性

数学的理论是抽象的,不容易引起学生的思维兴趣,要想达到一个良好的教学互动和教学效果,通常有两种做法:第一,介绍知识点的应用;第二,应用大量的思考题。下面就通过几个例子介绍线性代数课程中的思考题的设立。

在线性代数的学习中,学生对很多知识点的理解经常是片面的,这时候如果能够适当地提出一些思考题,同时纠正学生的错误回答,可以帮助学生更全面地理解知识。

(1)思考题1:f(x),g(x),u(x),v(x)∈P[x],且d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),那么d(x)是否为f(x),g(x)的最大公因式?

分析:这个问题是在学习完第一章第4节最大公因式的知识之后提出的,最初看到这个问题的时候,很多学生会认为答案为“是”,原因是学生知道f(x),g(x)的最大公因式d(x)都有表达式d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。教师最后给出否定的回答,并给出反例,让学生了解不是所有问题的逆命题都是正确的。

(2)思考题2:f(x,x,x)=(x,x,x)123132133xxx是否为二次型?

分析:这个问题是学习完二次型提出的,当最初接触二次型的知识的时候,学生经常对这个问题犹豫不决,主要原因是学生了解二次型的矩阵是对称矩阵,但是这个式子中间的矩阵不是对称矩阵,那这个不是一个二次型?如果我们回到二次型的定义,只要是一个二次齐次多项式,就是一个二次型。所以这个思考题的回答是肯定的,而且这个二次型的矩阵为13/223/235/225/23。最终通过这个思考题让学生真正了解二次型的本质结构就是二次齐次多项式。

思考题还可以帮助调动学生的积极性,帮助学生加强对知识的理解,更重要的是帮助学生发现新的问题,思考新的问题。

线性代数范文第3篇

关键词 认知特征 启发式教学 主线式教学思路

中图分类号：G642 文献标识码：A

0 引言

线性代数是大学生进入大学后接触到的第一门代数课程，它为讨论矩阵计算、代数特征值等问题奠定基础，也为计算机应用、数字信号处理、网络开发等等工程领域的研发工作提供有力的工具，但是如何在有限的教学时间内（一般30～50学时），让学生理解并掌握行列式、矩阵、向量（组）及其数值计算并对线性空间有基本的认识，培养他们的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、以及数学建模能力和数值计算能力并非易事。因此，需要对学生的特点和课程本身的特殊性有足够的认识，在此基础上进行有机的整合，才能快速而高效地完成教学工作。

1 大学生的认知特征

从教育心理已经得知，人的学习能力是具有年龄特征的。比如粗略地讲，人从6岁到14岁左右是记忆的最佳期，这时的记忆力常常表现为善于死记，过目不忘，这种能力在15岁以后逐渐衰退。15岁以后的记忆越来越依赖于理解性记忆。18～19岁的大学生正处在由死记硬背的记忆向理解性记忆的过渡中，有学习热情但学过之后如不加深理解记忆则遗忘较快，如果这时不能正确处理好二者的关系，将会严重影响以后的学习，甚至会对学生造成心理伤害，进而给社会和学生的家庭带来不可弥补的损失。

线性代数课程一般在大一下学期开设，此时学生刚适应大学生活，正处在由中学生的学习习惯向大学生的学习习惯转变。在教学的过程中应重点指导学生怎样理解所学习的知识，在理解的过程中进行记忆，从而减弱时常遗忘带来的困惑。这一阶段经常有学生会问学习线性代数有什么用处？有的老师回答：“现在把基础打好，将来自然有用”。或者说：“既然各个大学都在开设这门课程，说明它的用处肯定很大”。这样就错失了一次让学生理解线性代数的机会，我们完全可以利用方方面面的例子来给学生说明这个问题。比如在测量及其数据的处理中会用到矩阵方面的一些简单例子，可以介绍给测绘专业的学生；再比如微软新开发的Bing搜索引擎就用到了大量的转移矩阵，这可以介绍给计算机等相关专业的学生……我们要采用各种方式、方法增加学生对线性代数的了解，激发他们的求知欲望。

2 线性代数课程的特点及授课策略

纵观线性代数的各类教辅书籍以及历年考研辅导资料，无不提及：线性代数概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后联系紧密，对于抽象性与逻辑性的要求高。事实也是如此，但这能为我们学习线性代数不可逾越的障碍吗？当然不是！我们一直坚持以学生“理解”为最基本的原则，为此，在采用启发式教学方法授课的过程中密切关注学生的学习状况，不断改进教学设计，提出了“一个问题，三把工具，多种用途”的主线式课堂教学思路。

线性代数是学生进入大学后接触到的第一门代数课程。由学生自己提出问题的可能性不大，因此在开堂第一节，我们明确提出线性代数课程的主要任务是研究如何解线性方程组。对于线性方程组大家都已经很熟悉了，那么对于解线性方程组，我们还有哪些问题没有解决呢？经过思考、回顾发现：第一种是当方程中未知数个数较多时，我们不易求解；第二种是当方程中未知数个数和方程个数不相等时，解不易表示。要解决这些问题显然无法直接入手，因此，从我们最熟悉的二元一次方程组开始进行讨论，从而引出二阶行列式的概念，进而介绍三阶行列式，直至n阶行列式。利用Cramer法则，可以解一部分线性方程组，但学生会感觉用行列式计算并不简单，这时，我们适时地给他们介绍相应的数学软件，如Matlab等来降低计算复杂度，消除学生对数学知识的畏惧感，提高学生的实际动手能力，激发学生的学习兴趣。通过对Cramer法则的讨论，学生会发现Cramer法则用于解线性方程组实际上是有很大的局限性，怎么办呢？这时学生可以自己提出问题了。

为了解决这个问题，给学生介绍一种新的工具：矩阵。带着些许疑惑，对矩阵的基本运算进行讨论，当清楚了矩阵乘法和线性方程组之间的关系后，学生的心中隐隐感到了一丝光亮，当学习了逆矩阵之后，学生恍然大悟，原来如此。但紧接着就会发现，这只是一个表面现象，事实上，它只能解决和用行列式时同样的问题，做了原地踏步。重新开始吧，回到消元法，我们发现线性方程组的初等变换和增广矩阵的行初等变换之间存在着对应关系，由此找到了利用增广矩阵的行初等变换解一般线性方程组的方法。在这一过程中我们注意向学生渗透：由消元法开始最后又回到消元法的整个研究过程并不是简单的回归原点，而是产生了质的飞跃，这就是辨证法中关于“事物的发展是螺旋上升，波浪式前进”的基本观点。到此，仿佛关于解线性方程组的问题都得到了完美的解决，是不是这样呢？可以提示学生，从解的角度来考虑。出于对线性方程组解的结构的研究，又引入了第三种工具：向量（组）。进而讨论向量组的线性相关性，线性空间，以及将它应用于讨论二次型。

通过解线性方程组这样一个问题，我们把行列式、矩阵、向量（组）三种工具介绍给学生，最后介绍它们在其它领域中的广泛用途，既为进一步学习矩阵理论等理论课程奠定基础，也为其它专业课程的学习铺平了道路。

3 线性代数与实践相结合增强教学效果

我们以解线性方程组为依托，将行列式、矩阵、向量（组）、特征值、特征向量、初等变换、线性空间、线性变换以及相似矩阵和二次型等概念有机地联系起来，有利于学生从理论上进行理解性记忆，有助于培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，而有意识地把数学软件引入线性代数教学，使之与线性代数的有关理论、方法相结合，可以增强线性代数的教学效果，培养学生的数学建模能力和数值计算能力。我们除了在课堂上讲授Matlab的一般知识之外，还开设了《工程数学》在计算机上的实现（Matlab版），通过切身体会，学生对线性代数中一些比较抽象的内容有了更加深入的理解；通过在不同领域的应用，学生对线性代数的重要性认识更加清楚，增强了学习动力；通过Matlab应用降低了计算的复杂度，增强了学生的信心。总之，通过实践学生对理论的理解更加深入，实际应用能力得到了显著提高。

基金项目：河南省基础与前沿技术研究计划项目（编号：082300410240）；信息工程大学理学院第四批教学建设立项项目（编号：LY12JG039）

参考文献

[1] 高隆昌.数学及其认识（第1版）.[M].北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2001.

[2] 马朝忠，杜院录.“整体化问题牵引”教学模式在线性代数教学中的实践与思考[J].教学与研究，2011.37（4）：59-61.

[3] 李尚志.线性代数精彩应用案例（之一）[J].大学数学，2006.22（3）：1-8.

线性代数范文第4篇

【关键词】线性代数；数学史；数学思维

一、研究背景

大学数学是高等院校类各专业和部分文史类专业的一门重要基础课，而线性代数就是其中一门。它主要研究有限维空间的线性关系理论问题。许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。在计算机广泛应用的今天，作为离散化和数值计算理论基础的代数课程，其地位举足轻重。由于这门课程具有高度的抽象性和严密的逻辑性，缺乏比较直观的思维模型，且学生大多来自大一大二年级，课时不多，势必使得教学过程变得枯燥无味。

由于大一和大二有诸多新课程要学，平时课程表的课时较为紧张，增加课时这一方法不够现实。很多研究者将重点放在了教学策略上，比如强调概念的理解和掌握，重视章节的习题课，运用先进、实用的教学手段。但是笔者认为从根本上解决这一问题，克服学习线性代数的盲目性和倾向，应将数学史融入教学。针对这一观点，笔者举了三章内容作为具体例子说明。

二、例子

（一）行列式。行列式是线性代数的基础。所以教科书的第一章就是行列式。如何更好地导入这门课，是最为重要的问题。在具体生产生活中不可避免的会遇到解线性方程组的问题。而在所学内容中，只能解决两个或三个未知量的方程组，而且，借助于消元法来揭露各个未知量的值或彼此联系。但是每次消元的本质既然都是针对未知量前面的系数，何不干脆就将这些方程中的系数提取出来专门处理，同时又能确保系数与原先的未知量一一对应。

于是，数学家们开始以研究系数来解决方程组的问题，从二元一次方程入手，发现了以克拉默法则为代表的行列式比值与未知量的取值有密不可分的联系。这便有了行列式的研究起源。

也就是说，从人文发展历史来讲，行列式的起源是解决线性方程组的问题，其本质是由一些数值排列而成的数字表格按一定的法则计算得到的一个数。早在1683年和1693年，日本数学家关孝和与德国数学家葛特福莱・莱布尼茨（Gottfrid Wilhelm Leibniz）分别独立提出了行列式的概念。此后行列式主要应用于线性方程组的研究并逐步发展成为线性代数的一个理论分支。1812年，法国数学家奥格斯丁・路易斯・柯西（A.L.Cauchy）发现了行列式在解析几何中的应用，这个发现激起了人们对行列式应用进行探索的浓厚兴趣，并将其应用到解析几何以及数学的其他分支中。随着时间的推移，人们的数学观一直在进步，而且和其他学科相联系。

（二）矩阵。作为行列式的后续内容，毕竟克拉默法则的应用有一定的局限性，方程组的个数必须与未知量的个数相等时才能应用。在不满足克拉默法则条件下揭示未知量之间的联系显得更加重要了。因此对系数矩阵的初等行变换应运而生。

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究应用的一个重要工具。

中国现存的最古老的数学著作《九章算术》成书于西汉末、东汉初，把方程组的系数排成正方形数表，称之“方阵”。实际上对数表的相应处理就相当于现在的初等行变换。这点比欧洲19世纪提出的现代观点要早了一千多年。这点大大激发学生身为中国人的自豪感，和学习代数的热情。

后来在1801年，德国数学家卡尔・弗里德里希・高斯（F.Gauss）把一个线性变换的全部系数作为一个整体，其实质就是矩阵。高斯出身于德国不伦瑞克的卑微家庭中，童年就表现惊人的早熟。其贡献覆盖数论、天文学、物理学曾经法线一种计算行星轨道的新方法，还研究地磁学，并将数学应用到光学上。一个伟大的数学家往往是多才多艺的，地域有界限，但是思想无疆界。

1844年，德国数学爱森斯坦讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。他被高斯称为三位伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿并称。

矩阵最初作为工具，后来经过两个多世纪，才发展成一门独立的学科――矩阵论，其内容可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等。

了解这些数学家的历史，可以拓宽学生的视野，教科书的理论得来不易，数学是一个开放的理论体系，一直都在错误、不完善中逐渐进化，对这些传统观念的革新正是需要后人的不断努力。理解这点，更有利于学生人格的成长，教书育人才是最终目的。

（三）线性方程组。在上述理论基础上，数学家终于可以不受到方程个数、未知量的个数影响，逐渐拓宽研究范围。只需要对于系数矩阵或增广矩阵相应作初等变换即可。

由于齐次线性方程组的求解只和系数矩阵的具体数值有关，所以只需将系数矩阵化成行阶梯形矩阵（行最简形矩阵）。而非齐次线性方程组的解不仅与系数矩阵的数字有关，与等号右边的数字有千丝万缕的联系，故有了增广矩阵的处理。

在西方，继莱布尼茨研究了含有两个未知量的三个线性方程组成的线性方程组后，柯林・马克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了类似克拉默的结论。

19世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组的理论，前者引入了增广矩阵、非增广矩阵的概念，后者证明了方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，这也是现代方程组理论的重要结果之一。

解决线性方程组的求解问题对现代科技的进步做出了巨大的贡献。主要用于计算数学等方面。

三、结语

总而言之，数学发展的历史也是人类发展进步的历史，博古通今；学习数学史能让学生清楚数学的重要和实用

性，尤其是线性代数；数学家艰苦创业的事迹也可以给学生树立很好的学习榜样，珍惜现有的学习条件和学习环境；学习线性代数的过程中，融入数学史有利用培养学生的数学思维、综合素质和综合能力。

参考文献

线性代数范文第5篇

【关键词】《线性代数》；教学；数理逻辑

数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支. 它是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统. 数理逻辑[1]中把能判断真假的陈述句称为命题，它是逻辑中最基本、最小的研究单位。数理逻辑研究方法就是把论述或推理中的各种要素都符号化，即把自然语言中的命题，连接词如：“非”、 “并且”、 “或”、 “如果……，则……”、 “当且仅当”、都用符号语言来表示.

设A，B，C是三个命题，■A表示A的否定，A∧B表示A并且B，A∨B表示A或B，AB表示如果A，则B，A？圮B表示A当且仅当B， A？圳B表示A与B等价，则有下面16组重要的等值式.

（1）双重否定律A？圳■■A

（2）幂等律A？圳A∨A， A？圳A∧A

（3）交换律A∨B？圳B∨A， A∧B？圳 B∧A

（4）结合律（A∨B）∨C？圳A∨（B∨C），（A∧B）∧C？圳A∧（B∧C）

（5）分配律A∨（B∧C）？圳（A∨B）∧（A∨C），

A∧（B∨C）？圳（A∧B）∨（A∧C）

（6）德摩根律■（A∨B）？圳■A∧■B，■（A∧B）？圳■A∨■B

（7）吸收律A∨（A∧B）？圳A，

（8）零律A∨1？圳A，A∧0？圳0

（9）同一律A∨0？圳A， A∧1？圳A

（10）排中律A∨■A？圳1

（11）矛盾律A∧■A？圳0

（12）蕴含等值式AB？圳■A∨B

（13）等价等值式（A？圮B）？圳（AB）∧（BA）

（14）假言易位AB？圳■B■A

（15）等价否定等值式A？圮B？圳■A？圮■B

（16）归谬论（AB）∧（A■B）？圳■A

《线性代数》这门课抽象知识比较多，比如向量、线性空间；逻辑性强，矩阵、行列式、线性方程组都具有一定的联系具有抽象性、注重技巧，比如求行列式有三种方法，三种方法适合于不同的题型，等等. 所以我们要想把这么课学好，首先要把里面的逻辑关系搞明白，而数理逻辑提供了更好的理解逻辑知识的方法.

1 熟悉一些常用的证明方法，证明技巧.

1.1 证明两个数相等，p=q？圳p≤q，q≤p；两个集合相同，A=B？圳A？哿B，B？哿A.

定理1[2] 在全部的n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有■个.

分析：假设在全部的n级排列中有p个奇排列，q个偶排列，即证明p=q.p=q等价于p≤q，q≤p.若对p个奇排列做一次对换，则p个奇排列变成p个偶排列，故p≤q（因为全部的n级排列中，共有q个偶排列）. 同理对q个偶排列做一次对换，可得q≤p，所以p=q=■.

证明两个线性无关的等价的向量组含有向量的个数相同，矩阵的行秩等于列秩，也采用此种方法.

1.2 反证法. 在从条件推出结论无法着手时，常采用反证法，即pq？圳■q■p，特别是指证明唯一性，至少，最多等的情况.

定理2[2] 若矩阵A可逆，则An的逆矩阵是唯一的.

分析：显然要证明矩阵A的逆矩阵是唯一的，无法从逆矩阵定义正面出发，故应用反证法. 假设矩阵B和C是A的逆矩阵，则有AB=BA=E，AC=CA=E，从而B=BE=BAC=EC=C，即矛盾，得证.

在证明向量组的线性相关与线性无关问题时，也常采用反证法.

1.3 数学归纳法，即n=1时，命题成立；假设n

证明：Dn=■=cosna

证明：对二阶行列式，有D2=■=2cos2a-1=cos2a，结论成立.

假设对阶数小于n的行列式结论成立.

对n阶行列式按第n行展开，得

Dn=2cosaDn-1-Dn-2

=2cosacos（n-1）a-cos（n-2）a

=2cosacos（n-1）a-（cos（n-1）acosa+sin（n-1）asina）

=cosacos（n-1）a-sin（n-1）asina

=cosna

故由数学归纳法得，Dn=cosna

2 弄清逻辑命题之间的关系.

定理3[2] 如果齐次线性方程组的系数行列式不为零，则齐次线性方程组只有零解.

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0 …………an1x1+an2x2+…+annxn=0

定理3′[2] 如果齐次线性方程组有非零解，则齐次线性方程组的系数行列式为零.