平均数问题范文第1篇

关键词：平均值；极限；聚点

关于数列平均值的极限有下面著名的结论：

定理1 数列{an}极限存在为a，则由前n项的平均值构成的数列a1+a2+…+ann极限也存在且等于a。

下面我们考虑该定理的逆命题及否命题是否成立。首先我们考虑否命题，也即“如果数列{an}极限不存在，那么数列a1+a2+…+ann极限存在”是否成立呢？我们给出下面的例子。

例1 令an=n，则有limn∞an=+∞，a1+a2+…+ann=n（n+1）2n=n+12，那么我们有limn∞a1+a2+…+ann=+∞。

可见当{an}极限不存在时平均值a1+a2+…+ann的极限可能不存在，也即定理的否命题不成立。如果将无穷（+∞、-∞或∞）看成是广义极限（或非正常极限）的话，那么上面的例2并不能说明问题，我们再给出下面的例子。

例2 令an=3k-2，n=3k-2，0，n=3k-1，-3k+2，n=3k，

也即{an}=1，0，-1，4，0，-4，7，0，-7，…，可以看出{an}极限不存在。n=3k-2时，a1+a2+…+ann=1+0+（-1）+…+（3k-2）3k-2=1；

n=3k时，

a1+a2+…+ann=1+0+（-1）+…+（3k-2）+0+（-3k+2）3k=0，

可知数列a1+a2+…+ann有两个子列收敛到不同的极限，从而a1+a2+…+ann极限不存在。

上面的两个例子中数列{an}都是无界数列，an的变化很大，导致了平均值的极限不存在，那么我们就会有这样一个想法，对有界数列{an}而言，an总在上下界之间变化，改变幅度有限，这样会不会使得平均值极限一定存在呢？我们有下面的例子。

例3 如下定义数列{an}：

a1=1，a2=-1，a3=a4=1，a5=a6=-1，a7=…=a12=1，a13=…=a18=-1，…，

假设前2・3k项已定义，令a2・3k+1=…=a2・3k+2・3k=1，a2・3k+2・3k+1=…=a2・3k+2・3k+2・3k=-1。

很显然，数列{an}有界，且极限不存在。对于平均值数列a1+a2+…+ann，当n=2・3k时，

a1+a2+…+ann=1+（-1）+…+1+1+…+（-1）+（-1）2・3k=0；

当n=4・3k时，

a1+a2+…+ann=1+（-1）+…+1+1+…+12・3k个4・3k=12。

可知数列a1+a2+…+ann有两个子列收敛到不同的极限，从而a1+a2+…+ann极限不存在。

从上面例子可以看出不论数列{an}的有界性保证不了平均值极限的存在性。

接下来我们考虑定理的逆命题，也即“如果数列a1+a2+…+ann极限存在，那么数列{an}极限存在”是否成立。这个命题也是不成立的，我们有下面的例子。

例4 令an=（-1）n，很显然{an}极限不存在。但a1+a2+…+ann为-1或0，是有界量，从而limn∞a1+a2+…+ann=0。

比较上面的例3和例4我们发现，这两个数列都只是由1和-1构成的，那么为什么会造成一个平均值极限存在，一个平均值极限不存在呢？这主要是由于1和-1出现的频率不同造成的。在例3的数列中1和-1在前n项所占比例随着n的增加变化很大，而在例4的数列中1和-1在前n项所占比例比较稳定，n增加时二者所占比例趋近于1/2。这又为什么会造成平均值极限存在呢？我们可以用概率的观点来理解这件事情。把例4数列理解为一个随机事件，那么1和-1在前n项所占比例也就是频率，频率的稳定值是概率，所以该随机事件中出现1和-1的概率都是1/2，从而数学期望为12×1+12×（-1）=0，而数学期望正是平均值的稳定值，所以平均值的极限存在且等于0。其实不光对例4我们可以这样理解，对其它一些情况也有类似的结论。我们给出下面的定理。

定理2 假设有界数列{an}有且仅有两个聚点x和y，其中xx+y2}中元素的个数。如果极限limn∞xnn=p，则有limn∞a1+a2+…+ann=px+（1-p）y。

证明 将{an}中小于等于x+y2的项构成的子列记为{bn}，大于x+y2的项构成的子列记为{cn}。下面证明limn∞bn=x，limn∞cn=y。

反证法。若{bn}不收敛于x，则必存在x的一个邻域（x-δ，x+δ）使得其外有{bn}的无限多项。而{bn}为有界数列，这无限多项也是有界的，从而由聚点定理可知这无限多项至少有一个聚点z，且z≠x。由bn≤x+y2可知z≤x+y2，从而z≠y。也即{bn}有一个不同于x和y的聚点，这也意味着{an}有一个不同于x和y的聚点，这与{an}只有两个聚点矛盾，limn∞bn=x得证。同理可证limn∞cn=y。

由定理1可知limn∞b1+…+bnn=x，limn∞c1+…+cnn=y。在{an}的前n项中有xn项属于子列{bn}，有yn项属于子列{cn}，故limn∞a1+a2+…+ann=limn∞b1+…+bxn+c1+…+cynn=limn∞b1+…+bxnn+c1+…+cynn

=limn∞b1+…+bxnxn・xnn+c1+…+cynyn・ynn

=limn∞b1+…+bxnxn・limn∞xnn+limn∞c1+…+cynyn・limn∞ynn

=xp+ylimn∞n-xnn=px+（1-p）y.

可以看出，上面的例4正是定理2的特殊情况。上面的定理是对于只有两个聚点的数列得到的，其实对有有限多个聚点的数列也有类似的结论，我们不加证明地给出下面的定理。

定理3 假设有界数列{an}有k个聚点x1，x2，…，xk，其中x1

参考文献：

[1] 《数学分析》，华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2010（第四版）

平均数问题范文第2篇

2、用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米?

3、果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖。已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元。问：什锦糖每千克多少元?

答案解析：

1.分析

解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。

解：①英语：(84×2+10)÷2=89(分)

②语文：89-10=79(分)

③政治：86×2-89=83(分)

④数学：91.5×2-83=100(分)

⑤生物：89×5-(89+79+83+100)=94(分)

答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。

2.分析

求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。

解：(4+5+7+8)÷4=6(厘米)

答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。

3.分析

要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。

解：①什锦糖的总价：

4.40×2+4.20×3+7.20×5=57.4(元)

②什锦糖的总千克数：2+3+5=10(千克)

③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74(元)

答：混合后的什锦糖每千克5.74元。

平均数问题范文第3篇

“平均数”是苏教版三年级下册第十单元“统计”的第一课时，和旧教材相比，现行苏教版教材中平均数不再作为应用题教学，而是把平均数作为常用的统计量，放入统计这一单元进行教学，凸显了平均数作为统计量的重要意义。因此，本课教学不应局限于怎样求平均数，更应重视平均数意义的理解，使学生会用平均数进行比较、描述、分析一组数据的状况和特征。我从挖掘数学味的角度设计教学，更加贴近学生的学习实际，使他们在深度的拓展和应用中体验平均数的意义与作用，孕育优化的数学思想，发展学生的思维能力。

一、铺设学习最近发展区

建构主义认为：“学生不是空着脑袋走进教室的，面对新问题，他们会基于已有的知识经验，依靠自己的认知能力，形成对问题的某种理解和解释。”学习本课之前，学生已经理解了平均分的概念，掌握了求平均分结果的基本算法，但对平均数的意义还是不了解的，极易混淆平均分和平均数。以往的教学实践也证明：如果像教材那样直接抛出问题“男生套得准一些，还是女生套得准一些”，学生很难发现“因为男女生人数不同，所以比较男女生套圈总数不公平”，不能将思维集中到比较“男女生平均每人套中的个数”上。那么，怎样才能让学生主动想到去比较“男女生平均每人套中的个数”呢？

我在设计时加入了两个问题情境：第一个情境“男女生人数相同”（如下图），学生会认为这时比较男女生每人套中的个数和男女生套中的总数都可以，但比较男女生每人套中的个数更方便。

第二个情境“男女生人数不同”（如下图），这时学生存有争议，但通过引导，学生理解了因为男女生人数不同，所以比较男女生套圈总数是不公平的，而此时只要比较一个男生和一个女生的套圈个数，就能分出水平的高低。

接着再出示教材中的例题，学生在前面活动经验的基础上，自然联想到用“男女生平均每人套中的个数”判断男女生套圈的水平。可以说，前两个问题情境的铺垫，为学生认识平均数打下了扎实的基础。

二、顺应学生的认知规律

平均数表示一组数据的整体水平，是描述数据集中程度的一个统计量，可以看作是一个虚拟的数，而平均分的结果却是实实在在的数。为了能让学生区分平均数和平均分，理解平均数的意义，在学生掌握“移多补少”的方法后，我采取了追问的理答策略。比如：“现在男生平均每人套中几个圈？”“如下图，这里的‘7’表示实际每个男生都套中了7个吗？它表示的是什么？”……通过追问，引导学生感悟出：“7”表示的是男生套圈的整体水平，是一个虚拟的数。实际套圈的时候，有的男生套中的个数比平均数多，有的比平均数少，也可能和平均数一样多。这样的追问是一种有意义、有价值的探索，是对平均数意义的深入诠释，使学生明晰了平均数的概念。

三、追求概念的深度发展

教材对于平均数的意义和算法比较重视，但淡化了对平均数特点的渗透，这就需要教师对教材进行深度开发。我在教学“求女生平均每人套中多少个”时，设计了“估一估”的环节，让学生在计算平均数之前，先在心里估一估，然后提问：“老师估计女生每人套中10个，行吗？女生平均每人套中4个，有可能吗？为什么？”在这场刻意营造的争论中，学生对于“平均数不可能比最大的数大，也不可能比最小的数小，只可能在最大数和最小数之间”的特点有了深刻的理解，对于平均数的估值范围有了正确的认识，有效促进了学生对平均数意义的理解。

四、孕育优化的数学思想

对于教材中“想想做做”的第一题，我进行了二次开发，先出示三个笔筒的求平均数问题，然后提出要求：“看看谁的反应快，你会选择哪一种方法求平均数？”学生不约而同地选择了“移多补少”的方法，然后我再出示五个笔筒，要求用“移多补少”的方法求出平均数。但此时笔筒里的铅笔数量悬殊较大，学生在练习时很难看出平均数，我顺势提问：“为什么反应没刚才快了？这时候用什么方法求平均数更合适？”通过对比，使学生认识到面对不同的平均数问题应灵活选用不同的方法解决，当面对较多、悬殊较大的数据时，选用求和平分的计算方法更合适。

在拓展练习中，我还对教材中“想想做做”的第三题适度开发。在学生对李强的身高作出判断之后，我及时出示五名队员实际身高的数据，并提问：“由于李强的腿受伤了，教练将身高160cm的李强换成身高是165cm董林，现在篮球队的平均身高和原来比会有什么变化？那么，现在的平均身高究竟是多少呢？你能快速看出来吗？”学生经过思考，产生了“在原有平均身高的基础上，将多出来的5厘米移多补少分给每个队员”的巧算思路。通过该题的训练，学生对关于求平均数问题的解题思路豁然开朗。

两次习题开发，我力求满足学生方法多样化的需求，引导学生诠释方法的合理性，探寻方法的最优化，促进学生对平均数的掌握，并在练习过程中充分发展学生的数学思维，提升思维品质。

五、链接知识的实际应用

平均数问题范文第4篇

——《比一比》一课教学设想

《比一比》这一课是三年级下册第六单元“统计与可能性”第一课时，教材的关注点在于揭示平均数的意义，掌握“移多补少”、“先求和再均分”两种求平均数的方法。我在备这节课的时候认为，这节课要着重解决三个问题：一是为什么学习平均数；二是理解平均数的意义并掌握求平均数的方法；三是运用平均数解决简单的实际问题。因此，我在设计时以“问题解决”为目标，借助直观的统计图和操作活动将平均数作为一个概念而不仅仅是一个算法来教，引导学生在观察比较、操作思考中深刻理解平均数的意义和价值，恢复其统计的本来面目。下面结合着四个主要教学环节，谈谈我的设想。

【环节一】借助丰富实例，引发认知冲突，初步感知“平均数” 的作用。

平均数是“统计与概率”领域的一个重要概念。“比一比”这一课教材只呈现一个图文结合的例题，却承载着两个教学任务：一是对平均数意义和主要特征的理解，二是探求平均数的方法。在教学中又该怎样借助这一道例题来谋求教学瓶颈的突破呢？我的思考是：不直接呈现概念引出平均数，而是以男、女两队投篮比赛情境为载体，借助读图将一个生活问题：“是男队赢了还是女队赢了？”转化为 “依据数据来判决胜负”的数学问题，使学生在两组数据的比较中引发认知冲突：当两队人数相等时，直接比较总数；当两队人数不等时，“比总数”、“比个人”都不公平，自然生发出比“平均每人投中几个球”，浅显又贴切地揭示平均数的统计意义，更重要的是在解决问题的过程中学生明白了可以采用平均数来比较不同样本同类数据的整体情况，当以后面临相类似问题时，就能自主地想到用平均数作为一组数据的代表去进行比较和分析。可以说，看似简单的游戏却蕴涵深刻的道理，平均数的产生水到渠成。

【环节二】借助直观图式，沟通内在联系，主动经历“平均数”的生成。

当学生有了强烈的学习平均数的内在需求后，我又从统计的角度引导学生探求平均数的方法，如：操作磁性圆片呈现“移多补少”的过程是直观刻画平均数能反映一组数据的整体水平，为后面理解平均数所表示的均匀水平提供表象支撑；接着利用生动的统计图配合黑板上的算式引导探究“先求和再均分”这种求平均数的一般方法，渗透数形结合思想；最后借助直观的课件演示介绍“找基准数”这种简便的计算方法，其核心是促进学生对平均数意义而非算法的理解，符合三年级学生的思维特点。在练习反馈时，则放手让学生自主选择方法来解决生活中的问题，突出每种方法的适用范围并对算法进行比较优化，建构概念的表征。

【环节三】 回归现实情境，在对比中思辨，真正触摸“平均数”的本质。

课标教材将“平均数”从解决问题调整到“统计与概率”的目的是在统计中学习平均数，突出分析数据、解释数据的重要意义。我在领会教材的编写意图的基础上，上课时围绕着问题解决逐步渗透平均数的特征帮助学生形成清晰表象，进而深刻把握概念本质。如在理解“平均数”的“虚拟”性时，注重在描述数据、进行整体水平的对比过程，巧妙利用课件演示那条代表平均数的红线，进而追问：“是不是女队每人真的都投中6个球？” 帮助学生理解平均数只刻画一组数据的整体水平，而不是平均分后所有的数据都变得相等了，深化“平均数是一种统计量”的本质；随后通过讨论 “三（1）班每人实际植了3棵树吗？”、 “平均每个笔筒里有多少枝笔”、“第三个笔筒里的6枝”和“平均每个笔筒6枝”表示的意义一样吗？、“下水游泳有危险吗？”等反映统计内容的生活问题予以强化，沟通数学与生活的联系；在理解“平均数”数值特点时，结合直观统计图引导学生讨论“佳佳投中了9个球，还有3个跑哪去了？”和“小雨只投中5个球，还有1个球是从哪来的？”来渗透“平均数”的范围一定在这组数据的最大值和最小值之间，并鼓励学生利用平均数的特点检验估计的结果是否准确，体会平均数的应用价值；特别是追问“对于平均数6，你还有什么想说的？”时，孩子们用自己质朴而稚嫩的语言表述着，这正是源于他们对平均数的意义的充分而深刻感受。

平均数问题范文第5篇

教学内容:

冀教版《数学》四年级上册第

85、86

页。

教学目标：

1.结合具体情境，了解平均数的实际意义，能计算简单的平均数。

2.通过合作交流，经历认识平均数、求平均数以及讨论平均数意义的过程。

3.积极参加数学活动，体会数学与生活的密切联系，体验学习数学的乐趣。

教学重难点：

教学重点：体会平均数的作用，掌握求平均数的方法。

教学难点：理解平均数实际意义。

教学方法：讨论法、讲授法、练习法等

教具准备：课件，练习卡

教学过程：

一、创设情境，激趣导入

1.谈话引入：同学们，你们听说过《龟兔赛跑》的故事吗？老师今天给大家带来一个《新龟兔赛跑》的故事，你们想不想看？

2.

播放《新龟兔赛跑》视频，生观看。

3.师：谁来说一说这个视频讲了什么故事？

生答。

师：4只乌龟和5只兔子怎么比赛呢？

生：用平均数

师：那你们认识平均数吗？

生：不认识！

4.引出课题——《认识平均数》（板书课题）

二、探究新知

（一）创设情境，认识平均数

1.课件出示小明一家打篮球情境图，师提问：你能从图中了解到哪些数学信息呢？

2.学生找出数学信息：爸爸投中6个，妈妈投中3个，小明投中5个，妹妹投中2个。师提问：谁投中最多？谁最少？

生：爸爸投中最多，妹妹投中最少。

师：妹妹投中最少，为此她很难过，为了能让妹妹觉得她和大家是一样厉害的，同学们，

你们能对小明一家投球总数进行平均分吗？

3.请同学上台用移一移的方法解决“每人平均分得多少个球”的问题。

4.师：你还有其他方法解决这个问题吗？把你的方法写在练习本上。

5.请同学说一说你是怎么样算的，为什么这样算，教师板演。

6.师：像这样，把几个不相同的数，通过移多补少或先全部加起来再平均分等方法，得到一个相同的数，这个数就是这几个数的平均数。引出平均数概念：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商就是平均数，并得出用公式法求平均数的方法：平均数=总数量÷总份数。

（二）解决问题，计算平均数

1.课件出示课本例2，教师谈话，提出问题：你从中可以了解到哪些数学信息？

生说。

2.通过所获得的数学信息，教师提出问题：哪组成绩好？

生1：第一组

生2：第二组

……

3.同桌讨论：哪一组成绩比较好？让学生讨论,并充分发表不同意见,教师相机引导学生达成共识:比较每组平均每人投中的个数更公平。

4.四人小组合作：利用平均数比较哪一组成绩好。

5.根据计算结果得出结论:第一组成绩好。学生代表展示：说一说你是怎样算的，为什么这样算？教师让学生用平均数描述两个组的平均成绩，并介绍平均数意义：平均数可反映总体情况或者代表总体的水平，并不能代表个体水平。

三、巩固练习

1.

下面说法正确吗？正确的画“√”，错误的画“×”。

（1）某小学全体同学向希望工程捐款，平均每人捐款3元。那么，全校每个同学一定都捐了3元。

（

）

（2）学校排球队队员的平均身高是160厘米，有的队员身高会超过160厘米，有的队员身高不到160厘米。

（

）

（3）小明所在的1班学生平均身高1.4米，小强所在的2班平均身高1.5米。小明一定比小强矮。

(

)

2.

哪个小组成绩好些？

第一小组4人，

一共做了100个。

第二小组5人，

一共做了110个。

3.在一场激烈的篮球比赛中，小明受伤了，需要换人上场，7号和8号都是替补队员，但教练不知道换谁比较好，聪明的你，能通过计算告诉教练到底换谁上场吗？

下面是7号、8号在小组赛中的得分情况

第一场

第二场

第三场

第四场

第五场

7号

9

11

13

8号

7

13

12

8

请你算一算，7号和8号派谁上场更合适？

四、课堂总结

这节课你有什么收获？

五、问题思考：平均水深问题。

课本第

86

页的问题讨论:游泳池的平均水深为120厘米,小军身高是140厘米,他在这个游泳池中学游泳会有危险吗?请同学说说你的看法，渗透安全教育。

六、达标检测

以下是新华小学四（6）班第五组和第六组同学坐位体前屈的成绩。（单位：厘米）

第五组

19

8

12

9

——

第六组

10

18

9

11

7

请你算出每个组的平均成绩。

作业布置：课本第86页练一练

板书设计：

认识平均数