已知二次函数范文第1篇

【关键词】二次函数 解析式 解法技巧

【中图分类号】 G 【文献标识码】 A

【文章编号】0450-9889（2015）03B-0075-02

二次函数在中学数学中占据重要地位。历年来，二次函数综合题都作为重要的题目出现在考试中。解决这类综合题关键一步是求二次函数解析式。求二次函数解析式是难点，求法也错综复杂，无论采用哪种方法求解，都可归纳为待定系数法。根据笔者的教学经验，在此讲解求二次函数解析式的五种常用的方法：一般式法、顶点式法、交点式法、平移法、旋转法。

首先要记住二次函数解析式有三种表达式：

1.一般式：y=ax2+bx+c （a≠0）。

2.顶点式：y=a（x-h）2+k （a≠0），顶点（h，k）。

3.交点式：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）（其中x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标）。

下面以实例说明，如何快、准、狠求出二次函数解析。

一、灵活运用一般式解题

例1 已知二次函数的图象经过（1，0），（-2，3），（-1， 4），求这个函数的解析式。

〖技巧点拨〗

本题给出二次函数图象经过不同三点的坐标，通常可设一般式：y=ax2+bx+c （a≠0）， 其中a表示二次项系数，b表示一次项系数，c表示常数项。因为满足二次函数解析式的点，一定在这个二次函数的图象上，反过来，二次函数图象上点的坐标一定满足这个二次函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入一般式，构成三元一次方程组，解方程组得a，b，c 的值，再代回所设的函数关系式，即为所求的二次函数解析式。

二、灵活运用顶点式解题

例2 已知二次函数图象顶点为（1，3），且过点（2，4），求该二次函数的解析式。

〖技巧点拨〗

已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，解题时通常可设顶点式：y=a（x-h）2+k （a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点坐标，把顶点坐标和经过的点的坐标分别代入顶点式，即可求出 a 的值，从而求得二次函数的解析式。

当然，顶点式有时也可转换为一般式，如本题中给出了顶点坐标，从而得出函数的对称轴为直线x=1，根据二次函数图象的对称性，很容易求出点（2，4）关于对称轴为对称的对称点（0，4）。顶点加上两个对称点，就得到了三点，也就满足了二次函数一般式的条件了，这样也可用一般式求解。显然，用二次函数顶点式解答比用一般式解答简便多了。

通常已知两点的坐标是不能求出 a，b，c 的值的，也就是说不能用一般式来求解析式。由于顶点式中要确定a，h，k 的值，而已知顶点坐标就是h和k 的值。用顶点式时，只要给出另一点的坐标就能确定 a 的值，即可求出二次函数解析式。所以，当已知抛物线的顶点坐标，或能够先求出抛物线的顶点坐标，对称轴，最大值或最小值，图象与x 轴截得的线段长等条件时，设顶点式解题十分简洁，这样用已经的点的坐标就能确定未知数 a ，从而求得解析式。在应用题中，有关隧道、桥拱、投篮、弹道曲线等问题，一般用二次函数顶点式求解比较简便。

三、灵活运用交点式解题

例3 已知抛物线与 x 轴交点坐标为（-1，0），（2，0），且过点（1，2），求二次函数的解析式。

〖技巧点拨〗

本题已知三点坐标，可用一般式求二次函数解析式；又因为已知有两点是抛物线与x轴的两个交点，也可用交点式求二次函数解析式，经比较用交点式解答，比较简便.

例4 已知二次函数图象经过A（-2，0），B（4，0），C（0，-2）三点，求此二次函数的解析式。

〖技巧点拨〗

很多同学看到此例，会想到用二次函数一般式求解，将已知三点坐标分别代入一般式去，通过解三元一次方程组，求得a，b，c 的值，即可得所求的二次函数解析式。而往往忽略了 A和B 两点的坐标是二次函数图象与x轴的交点坐标这个特点，如果利用这个特点，用交点式来求解就相对比较简单、容易。

例5 若二次函数经过点（2，0），（4，0）且函数最小值是-2，求函数解析式。

〖技巧点拨〗

方法一：本题可直接设为交点式y=a（x-2）（x-4），然后根据最小值为-2，求得顶点坐标为（3，-2），再把顶点坐标代入交点式得a=2，从而得出二次函数解析式为y=2（x-2）（x-4），即y=2x2-12x+16。

方法二：本题也可以（下转第82页）（上接第75页）根据已知条件的两个交点坐标，求出对称轴x=3，从而求出顶点坐标（3，-2），可设二次函数顶点式解题，较为简便。

方法三：从上面两种方法可知顶点坐标是容易求出来的，因有三点坐标，可用一般式求解，但这种解法太麻烦。

通常，若已知抛物线与x轴有两个交点，或对称轴时，选交点式解答比较简单。

四、用平移法解题

例6 把函数y=x 2+4x-5的图象向右平移3 个单位，再向上平移2 个单位，求平移后抛物线的解析式。

〖技巧点拨〗

先把函数y=x 2+4x-5 进行配方，得到顶点式：y=（x+2）2-9，把图象向右平移2 个单位，得到y=（x+2-2）2-9，再向上平移3 个单位，得到y=（x+2-2）2-9+3，化简得二次函数解析式为y=x2-6 。

用平移法求二次函数解析式时，要先通过配方把解析式化为顶点式，牢记：在平移过程中，二次项的系数不变，只是抛物线的顶点位置发生改变。在平移过程中，按左加，右减，上加，下减的方法进行。

五、用180°旋转法解题

〖技巧点拨〗

记住： 旋转180°，只是抛物线的开口方向发生了变化，由开口向上（下）变为开口向下（上），但抛物线的顶点位置没有改变，所以可用顶点式：y=a（x-h）2+k求解，只要将 a 的符号改变，即可求出二次函数解析式。

上面介绍了五种求二次函数解析式的方法。这五种求法有利有弊，用顶点式和交点式解题比较简单，但是受条件限制，不是所有题目都能用。如果题目出现顶点或与顶点有关的条件时，用顶点式解题，比较简便；如果题目出现与x轴相交的交点坐标，或隐含与交点坐标有关的条件时，就用交点式解答比较简便；如果条件是给出经过不同的三点的坐标时，则用一般式解答，比较明了，但解题时要用到三元一次方程组的解法（在初中阶段是选学内容），很多同学不掌握。虽然用一般式求二次函数解析式是易掌握易理解运用，但三元一次方程组难解，也成为学生的难点。

已知二次函数范文第2篇

在九年级复习后期，学生面临的一大难点便是二次函数相关知识，对待与二次函数有关的题解可谓是谈虎色变，但是二次函数是初中数学中的重要内容，也蕴涵着一种重要的数学思想方法。它由数、式、方程（二次方程）到二次函数，贯穿了整个初中代数。纵观近几年的中考试卷可以发现，二次函数始终是中考命题中的重点与热点，一方面是考查二次函数中学生对基础知识的掌握程度，另一方面以其新颖独特的综合试题引导学生探究和创新。在此我就以二次函数中求解析式这一小块内容提供几种常见的基本解法，方便同学们在学习中进行参考：

一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y=ax2+bx+c（a≠0）求解。我们称y=ax2+bx+c（a≠0）为一般式（三点式）。

例：二次函数图象经过A（1，3）、B（-1，5）、C（2，-1）三点，求此二次函数的解析式。

分析：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c （a≠0）构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。

二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y=a（x+m）2+k （a≠0）求解。我们称y=a（x+m）2+k （a≠0）为顶点式（配方式）。

例：若二次函数图像的顶点坐标为（-2，3），且过点（-3，5），求此二次函数的解析式。

已知二次函数范文第3篇

【引例】

已知点A（2，y1），B（-1，y2）在抛物线y=（x-1）2+1上，则比较y1，y2的大小关系 .

【常规思路】

从代数的角度，我们可以根据二次函数图像上点的坐标特征，将A（2，y1），B（-1，y2）代入二次函数分别计算出y1，y2的值，然后再比较它们的大小；从函数的角度，我们可以先利用二次函数的对称性，将对称轴异侧两点A（2，y1），B（-1，y2）转化到对称轴的同一侧两点A（2，y1），B′（3，y2），再根据二次函数的增减性比较大小.

【题后反思】

从解题中我们发现代数法的本质即利用图像上点的坐标特征把二次函数值的比较大小转化为代数式值的比较大小.而函数法的本质即结合二次函数的图像，利用函数增减性把二次函数值的比较大小转化为比较A、B两点到对称轴距离的远近.

代数法是顺其自然的解答，函数法是数形结合的方法，直观简单.这两种方法时刻贯穿于我们二次函数的值比较大小的问题中，如何准确熟练使用好这两种方法呢？下面我们一起看三个例题分析.

【应用实例】

例1 二次函数y=mx2-2mx+m2+1（m

【思路分析】顺其自然我们会想到代数法，利用代入法算出y1=m2+1，y2=m2+3m+1，然后利用作差法得出y1-y2=-3m>0即y1>y2.由于函数法取决于开口方向与对称轴，只有找出“隐形”对称轴x=1，进一步判断出A点到对称轴的距离比B点到对称轴距离要近，再根据开口向下，离对称轴越近函数值越大进而得出y1>y2.

【题后反思】

一般情况下，若点的横坐标已知，我们易用代数法解决问题；若对称轴以及开口方向显然可知，用函数法相对比较简单.

例2 已知抛物线y=（x-3）2+2经过点A（m，y1），B（n，y2），且[m-3]

【思路分析】 此题中非常清晰可知二次函数的对称轴与开口方向，函数法应该优先考虑.再根据[m-3]

【题后反思】用函数法处理问题时我们仅需关注二次函数的对称轴与开口方向以及已知点与对称轴的距离的远近，与已知点在对称轴的同侧还是异侧关系不大。

例3 已知点A（m，y1），B（m+1，y2）， 在抛物线y=（x-1）2+1上，则比较y1，y2的大小关系 .

【思路分析】代数法，常规做法利用代入法算出y1，y2，然后利用作差法得y1-y2=-2m+1，由于m的取值未知，故而对-2m+1的正负性讨论，最后得出：当m=0.5时，y1=y2；当m>0.5时，y10.5，此时y1

【题后反思】此题中无法判断两点与对称轴的距离的远近，似乎用函数法不易理解，下面我们把它简化为判断AB中点与对称轴的位置.

【变式】若二次函数y=a（x-h）2+k（a>0）经过A（m，y1），B（n，y2）两点，且m

【解答】①AB中点在对称轴上，即[m+n2]=h时，y1=y2；②AB中点在对称轴右面，即[m+n2]>h时，y1

【方法总结】

二次函数的函数值比较大小的方法：

（1）代数法.具体步骤：①代入求值；②作差比较.

已知二次函数范文第4篇

关键词：二次函数；一元二次方程；数学思想方法

二元一次方程是初中阶段最重要的一个代数知识，对二次函数与一元二次的教学，许多教师都感到难以把握，综合其原因主要有如下两点：一是本节教学内容牵扯到了的知识点较多，有相当数量的学生对旧的知识点掌握本身就不是特别牢固，教师对教学的深浅度不太容易把握；二是本节运用了各种教学方法，有函数、方法、类比、分类讨论、数形结合思想等，这都是初中数学中对学生所要培养的重要思想。可以说本节内容是初中代数各种知识与思想的集中展现，是初中代数内容的一个总结。

“用函数观点看一元二次方程”，是代数与几何知识有机结合的一个亮点，是初中、高中知识的一个衔接点，是初中数学的重要内容，是初中学业水平考试重点考察的内容之一，因此，全面掌握二次函数的基础知识和基本技能，并能分析和解决有关二次函数的综合问题，合理利用他们之间代数关系是学生必备知识。

一、二次函数与一元二次方程的联系

方程和函数有着不可分割的联系，用函数观点看一元二次方程要把握好以下两点：1、用函数的思想看方程；即函数值y=0（即图像上的点在x轴上），函数即转化为一元二次方程方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标。2、用方程的思想看函数；即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，这两点间的距离AB=|x1-x2|，另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）-A|（A为其中一点的横坐标；当b2-4ac=0，图像与轴只有一个交点；当b2-4ac0时，图像落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a

二、还需要掌握用待定系数法求二次函数的解析式

（一）当题给条件为已知图像经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）。

（二）当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a（x-h）2+k。

（三）当题给条件为已知图像与轴的两个交点坐标时，可设解析式：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）

二次函数知识很容易与其他知识综合应用，形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是初中学业水平考试的热点考题，往往以压轴题的形式出现。

三、二次函数与一元二次方程的综合解题

初中代数中的二次函数与一元二次方程的关系十分密切。我们在教学学习时，以熟练地蒋这两部份知识相互转化。二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0从形式上看十分相似，但两者之间既有联系又有区别。当抛物线的y的值为0时，就得到一元二次方程。抛物线与x轴是否有交点就取决于一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况。

例1、求抛物线y=x2+6x+9与x轴的两个交点。

【分析】令y=0，根据y=x2+6x+9的根来确定抛物线与x轴的交点的横坐标。

解：令y=0，则x2+6x+9=0的解方程得：x1=3，x2=-3

抛物线y=x2+6x+9与x轴的两个交点坐标为：（3，0）（-3，0）

例2、已知二次函数

（1）y=x2+2x+k-1若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围。

（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的取值。

【分析】此题的关键是利用二次函数与一元二次方程的关系来解，当抛物线与轴有两个不同的交点，可利用b2-4ac>0来确定k的取值范围。当抛物线的顶点在x轴上，说明抛物线与x轴只有一个交点，可利用b2-4ac=0来确定k的取值。解： x2+2x+k-1=0

（1）=22-4（k-1）=4-4 k+4=8-4 k>0

当k

（2）=8-4 k=0 当k=2时，抛物线的顶点在x轴上。

例3、已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+2=0的根的情况（ ）

A、无实数根 B、 有两个相等的实数根C、 有两个异号实数根 D、有两个同号不等实数根

【解析】因为ax2+bx+c+2=0

所以 ax2+bx+c=-2，设y1=ax2+bx+c， y2=-2，因为 y1=ax2+bx+c，的图像如图2，-30 且 x1≠x2

所以方程ax2+bx+2=0有两个同号不等的实数根。选D。

评析：本题解题的关键是通过把方程ax2+bx+2=0与抛物线y1=ax2+bx+c比较后，把已知方程转化为两个函数值相等的形式，再利用这两个函数图像的交点的横坐标就是这个方程的解的关系，来判别方程两实数根的情况。

总之，教学和学习这节内容，要充分运用以下两种思想方法：一是函数与方程的思想，用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图像和性质等更高层次的提练和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出带有观念的指导方法；二是数形结合思想，在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化、几何问题可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。在学生理解二次函与一元二次方程的联系的基础上，能够运用二次函数及其图像、性质去解决现实生活中一些问题。进一步培养学生综合解题的能力，在整个这个章节学习过程中始终渗透数形结合的思想，更体现了学数学的重要意义。是教学难点，相信通过教师采取积极的教学策略，定会取得满意的教学效果。

参考文献：

[1]数学教师用书九年级（人民教育出版社）.

[2]数学课程标准（人民教育出版社）.

已知二次函数范文第5篇

关键词：二次函数解析式 待定系数法 一般式 顶点式 交点式 平移法 综合法

二次函数是中考必考的重点，在实际应用中二次函数作为一种数学模型的作用，常考利用二次函数的性质求面积、利润等的最大值和最小值，然而能否求出二次函数的解析式却是解决题目的关键点，因此探究求二次函数解析式的方法已成为重点内容。二次函数解析式的一般形式到特殊形式依次总结出一般式、顶点式、交点式、平移法、数形结合法、综合法等求二次函数解析式的方法，及这些方法在初中数学中的简单应用。

1.求二次函数解析式的方法主要是：待定系数法、配方法、数形结合等。

2.求二次函数解析式的常用思想：转化思想，解方程或方程组。

3.二次函数解析式的最终形式：无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。

一、定义型

这类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足两个条件：

1.二次函数的二次项系数不能为零（a≠0）。

2.x的最高次数为2次。

例，若函数y=（m+1）xm2-3m-2为二次函数，求m的值。

解：因为该函数为二次函数，则 ，

解（1）得：m=4或-1，

解（2）得：m≠-1，

所以m=4。

二、结论开放性型

此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以它的答案并不唯一。

例1.经过点A（0，5）的抛物线的解析式是______。

分析：根据给出的条件，点A在y轴上，所以这道题只需满足y=ax2+bx+c中的C=5，且a≠0即可y=x2+x+5（注：答案不唯一）。

三、平移型

将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线。此类题目，将抛物线图像平移，发生变化的只有顶点坐标，故可先将原函数解析式化顶点式y=a（x-h）2+k，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求函数解析式。当图像向左（右）平移n个单位时，就在x-h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m。其平移的规律是：h值正负，右、左移；k值正负，上下移。由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a的值不变。

四、三点型

若已知抛物线上三点的坐标，要确定a，b，c，利用待定系数法则可应用一般式y=ax2+bx+c求解。

例，已知一个二次函数的图象过点（-1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式？

解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，

a-b+c=10

由条件得： a+b+c=4 ，

4a+2b+c=7

解方程得：a=2，b=-3，c=5，

因此：所求二次函数是：y=2x2-3x+5。

五、顶点型

若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式y=a（x-h）2+k。这顶点坐标为（h，k），对称轴方程x=h，极值为当x=h时，y极值=k来求出相应的系数。

六、交点型

若已知抛物线与x轴的两交点坐标，或两点间的距离及对称轴，已知图像与x轴交于不同的两点（x1，0），（x2，0），设二次函数的解析式为y=a（x-x1）（x-x2），根据题目条件求出a的值。

采用一般式、顶点式和交点式求解，可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。

七、综合型

此类问题综合性强，覆盖面广，涉及知识点多，既要求我们掌握前面几种基本类型的抛物线的解析式，还要求我们掌握函数、方程、数形结合、分类、待定系数法等数学思想方法。

例，已知二次函数y=3x2-6x+5，求满足下列条件的二次函数的解析式：

（1）图象关于x轴对称。

（2）图象关于y轴对称。

分析：已知一个二次函数y=ax2+bx+c，要求其图象关于x轴对称（也可说沿轴翻折）；y轴对称及经过其顶点且平行于x轴的直线对称（也可说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y=a（x-h）2+k的形式。

（1）关于x轴对称的两个图象的顶点关于x轴对称，两个图象的开口方向相反，即a互为相反数。

（2）关于y轴对称的两个图象的顶点关于y轴对称，两个图象的形状大小不变，即a相同。

（3）关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a互为相反数。

所以y=3x2-6x+5可转化为y=3（x-1）2-2，据对称式可知：

①图象关于x轴对称的图象的解析式为，y=-3（x-1）2-2，即：y=-3x2-6x+5。

②图象关于y轴对称的图象的解析式为：y=3（x+1）2+2，即：y=3x2+6x+5。

例，如图，抛物线y=x2+bx+c的图像与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q，过点Q的直线y=2x+mx与x轴交于点A，与这个抛物线的图像交于点B，若SBPQ=3SAPQ，求此抛物线的解析式。

分析：此题考查函数与方程间的关系，只要将函数关系转化为方程来解即可。

解：由图知m=c，方程组 ，

得x1=0，x2=2-b，

Q（0，c），B（2-b，4-2b+c），

又SBPQ=3SAPQ，SPAB=4SAPQ，

=4，b=2- ，

又y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，所以由b2-4c=0得（2- ）2-4c=0，c1= ，c2=4，

又x=- >0，b

因此所求抛物线解析式为y=x2-4x+4。

求抛物线的解析式的方法很多，解题时，要根据题目所给的条件，灵活选用不同方法，注意根据题意转化问题，从不同的角度寻找条件，再根据条件选择恰当的方法来设二次函数的解析式，尽可能使表达式中待定系数的个数较少，简单易求，能使解题简捷。

参考文献