求和公式

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇求和公式范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

求和公式范文第1篇

等差求和公式是：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

公式就是用数学符号表示各个量之间的一定关系(如定律或定理)的式子。具有普遍性，适合于同类关系的所有问题。在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。

（来源：文章屋网 ）

求和公式范文第2篇

一、三角函数简单求和

例1.求 cos（kθ）+i sin（kθ）。

分析：这是个可以化成复指数函数的典型问题，我们知道欧拉公式为

eiθ=cosθ+isinθ

分别令θ为θ和-θ，从而得到三角函数由复指数函数的表达式：

cosθ=

sinθ=

于是将上式化为 ei（kθ）为关键。

解：原式= ei（kθ）=eiθ+ei（2θ）+…+ei（nθ）

由求和公式，原式= =eiθ[ ]

再将复指数函数由三角函数表示得

原式=eiθe

=e

二、构造欧拉公式求和

例2.求证 sin（x+ky）=

cos（x+ky）= ≠0。

分析：此题的关键是构造与欧拉公式相同的形式，将三角函数与复指数函数联系起来，再由欧拉公式进行转换。

解：记A= cos（x+ky） B= sin（x+ky）

A+iB= cos（x+ky）+i sin（x+ky）

= ei（x+ky）=eix eiky=eix（1+eiy+ei（2y）+…+ei（ny））

=eix =eix

=[cos（x+ y）+isin（x+ y）]・

则我们取A+iB的实部，便是 cos（x+ky）的和，取A+iB的虚部，便是 sin（x+ky）的和，从而我们可以得证

cos（x+ky）=

sin（x+ky）=

三、复杂三角函数求和

例3.求和 Cnkcos（kx+a）及 Cnksin（kx+a）。

分析：这题在例2的基础上，与组合数学结合，我们可以在构造欧拉公式的基础上与二项式定理相联系。

记C= Cnkcos（kx+a） S= Cnksin（kx+a）。

则C+iS= Cnkcos（kx+a）+i Cnksin（kx+a）。

= Cnkei（kx+a）=eia Cnk（eix）k

=eia（eix+1）n=eia[e （e +e ）]n

=eia・e ・（2cos ）n

=2n・cosn ・e

所以C=Re（2n・cosn ・e ）=2n・cosn ・cos（a+ ）

S=Im（2n・cosn ・e ）=2n・cosn ・sin（a+ ）

从而 Cnkcos（kx+a）=2n・cosn ・cos（a+ ）

求和公式范文第3篇

当x=0时，S(0)=0，当x≠0时，S(x)=∑ n^2*x^n=x∑ [(n+1)n-n]*x^(n-1)，S(x)/x=∑(n+1)n*x^(n-1)-∑ n*x^(n-1)=[∑ x^(n+1)]''-[∑ x^n]'= [x^2/(1-x)]''-[x/(1-x)]'=2/(1-x)^3-1/(1-x^2)=(1+x)/(1-x)^3，得S(x)=x(1+x)/(1-x)^3，已包含了x=0的情况。收敛域-1

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求和公式范文第4篇

【关键词】复化梯形公式；复化Simpson公式；Gauss-Legendre公式

1 引言

数值积分是计算数学的基本内容，在工程技术和科学计算中起着十分重要的作用，当积分的精确值不能不能求出时，数值积分就变得越来越重要。通常数值积分的计算常利用机械积分来实现，其基本思想为：

（1）

其中Ak≥0和xk∈[a，b]称为求积系数和求积节点，k=1，2，3 … n。Newton- Cot’s方法可以为数值积分提供思路，主要思路就是在节点确定时利用插值多项式的积分。对节点和系数都使用待定法使代数精度达到最高阶的一类方法是Gauss型公式，常见的有Gauss-Legendre公式、Gauss-Chebyshev公式等。本文利用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre I型公式来计算几例常见定积分的近似数值解，并且对每种算法的精确度、计算复杂度进行了比较与分析。

2 理论模型

2.1 复化梯形求积公式

将区间[a，b]划分成n等分，分点xk=a+kh（，k=1，2，3…n），在每个子区间[xk，xk+1] （k=1，2，3 …n-1）上采用梯形式，则得到

（2）

记

（3）

上式（3）为复化梯形公式，其余项可由式

，（a≤η≤b） （4）

得

，ηk∈[xk，xk+1] （5）

由于

f（x）∈C2[a，b]

且

，（0≤k≤n-1） （6）

所以?∈（a，b），使

（7）

于是复化梯形公式余项为

（8）

2.2 复化Simpson求积公式

将区间[a，b]划分为n等分，在每个子区间[xk，xk+1]上采用Simpson式，若记，则得

（9）

记

（10）

上式（10）为复化Simpson求积公式，其余项可由式

，（a≤η≤b） （11）

得

，ηk∈[xk，xk+1] （12）

于是当f（x）∈C4[a，b]时，与复化梯形公式相似有

，η∈[a，b] （13）

2.3 复化Gauss-Legendre I型求积公式

Gauss型求积公式是具有最高代数精度的插值求积公式。通过适当选取求积公式（1）的节点ε=5e-8和求积系数Ak≥0和xk∈[a，b] （k=1，2，3…n），可使其代数精度达到最高的2n+1次。利用特殊区间[-1，1]上n+1次Legendre正交多项式的根作为节点，我们可以建立Gauss-Legendre型求积公式。将区间[a，b]划分成n等分，分点xk=a+kh（，k=1，2，3 …n），在每个子区间[xk，xk+1]（k=1，2，3…n-1）上采用2点Gauss-Legendre I型求积公式

（14）

在[a，b]区间上的复化积分公式为

（15）

上式（15）称为复化Gauss-Legendre I型求积公式。

于是当f（x）∈C4[a，b]，时，复化Gauss-Legendre I型求积公式的余项表达式为

，（a≤η≤b） （16）

3 数值举例

先考察下面等式（17）右边定积分的近似值

（17）

分别用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre I型公式做运算，求出其在绝对误差限为ε=5e-8内的近似数值解。

假定

（18）

因此

， （19）

所以

， （20）

对于复化梯形公式有

（21）

所以

n≥1791.6 （22）

因此取步长

n=1792 （23）

对于复化Simpson求积公式有

（24）

所以

n≥20.1 （25）

因此取步长

n=21 （26）

对于复化Gauss-Legendre I型求积公式有

（27）

所以

n≥18.2 （28）

因此取步长

n=19 （29）

同理也可以考察等式

和 （30）

右端定积分的近似数值值，具体结果见表1。

表1 三种复化算法步长的事前估

函数 复化梯形

求积公式 复化Simpson

求积公式 复化Gauss-Legendre I型求积公式

1792 21 19

2457 14 12

7019 24 22

表2三种复化算法的计算结果函数 复化梯形

求积公式 复化Simpson

求积公式 复化Gauss-Legendre I型求积公式

-0.405465126309431 -0.405465118046333 -0.405465098225125

1.820478483584408 1.820478477218769 1.820478423657262

7.389056127230221 7.389056126214707 7.389056073169591

表3 三种复化算法的精度分析

函数 复化梯形

求积公式 复化Simpson

求积公式 复化Gauss-Legendre I型求积公式

1.820126660501e-8 9.938168621381e-9 -9.883039109315e-9

-3.033073325831e-8 -2.396509368729e-8 2.959641309807e-8

-2.829957068684e-8 -2.728405679164e-8 2.576105906371e-8

在绝对误差限为ε=5e-8内，用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre I型公式对所列三个定积分做近似数值解运算，分别利用它们的余项对每种算法做出步长的事前估计，如表1所示。步长能够反映运算量的大小，步长越大，计算量越大，很显然复化梯形公式计算量比另两种算法大得多并且更加复杂，耗时更长，对计算机硬件要求更高。表2记录了三种算法对三种定积分运算所得的近似数值解，表3记录了三种复化算法的近似数值解与精确解之间的误差，可以看出三种算法的结果均在绝对误差限ε=5e-8以内，精度达到了要求，但各自相互之间存在差异，精确度也各不相同。由各算法的步长可知，复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre I型公式在相同精度的情况下下，其步长依次减小，其次，其计算量也依次递减。

对于，在计算机求解时，我们将步长设为事前估计的1792，所得到的精度满足要求。但是如果将步长减小1步，即为1791时，结果依然满足要求，甚至将步长减少2步、10步、100步、500步……直到步长减小到1081时所得结果才不满足要求，此时的误差为5.001798630832e-08，不在绝对误差限ε=5e-8内。尝试了另外几种复化求积公式，也会出现这样的现象。此现象可以概括为：满足精度的事前估计的步长大于满足精度的实际步长。这种现象的出现可以作如下解释：在做步长的事前估计时，我们是用函数二阶导数或者四阶导数的最大值来运算的，这种处理方式所得到的步长是一种极限步长（步长最大值）。然而，在计算机求解时，肯定会出现满足精度的实际步长，并且该实际步长肯定不会大于事前估计步长。

4 结论

一般情况下可以采用复化梯形公式、复化Simpson 公式和Gauss-Legendre 公式可以求出一定精度的近似解，采用复化Simpson公式和复化Gauss-Legendre I型公式的结果可以进一步外推提高精度和降低计算量。三种复化求积分算法在相同精度的情况下，其步长和计算量依次减小。

参考文献：

[1]严子谦，尹雪景，张然.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2004

[2]李庆杨，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，Springer出版社，2003

[3]邱淑芳，王泽文.数值积分公式中间点的渐进性质及其应用[J]. 数学的实践与认识，2006，36（5）：218-223

[4]刘玉娟，陈应祖，卢克功.龙格贝积分法及其应用编程[J].重庆科技学院学报（自然科学版），2007，9（1）：97-99

求和公式范文第5篇

要想灵活应对数列的拔高问题，解决问题的思想方法很重要。针对数列是一种特殊的函数，我们要把研究函数的思想方法迁移到数列中。

从一次函数角度研究等差数列的通项公式，挖掘公差与一次项系数的关系；从二次函数特征观察等差数列的前n项和公式，根据一个数列的前n项和的表达式，判断该数列是否为等差数列；从指数型函数形式对比等比数列通项公式，研究等比数列的递增和递减规律，并强调公比不能是0。在研究问题时，在考虑一般情况的同时，也不能忽略特殊情况。尤其是常数列和数列通项公式是分段函数这两种形式。另外，根据函数单调性求最值，放缩法证明不等式，这些方法也经常被应用到解决数列问题中。下面我就求数列通项公式及前n项和两个方面谈几种方法。

一、求数列通项公式

求数列通项公式，常见类型有三种：

第一类问题是利用公式求通项。

（一）根据等差数列定义或等差中项公式，判断该数列是等差数列，直接代入等差数列通项公式求通项。

（二）根据等比数列定义或利用等比中项公式，判断该数列是等比数列，直接代入等比数列通项公式求通项。

第二类是根据数列的递推关系式求通项。

二、求数列前n项和

在数列求和中，常用的方法有以下六种：

（一）公式法。如果数列是等差等比，则直接代入公式即可。

以上这些是在解决数列问题时，具体在求一些数列的通项公式及求它们的前n项和中，经常用到的方法。在解决数列问题时，只有掌握这些方法，才能做到融会贯通，游刃有余。

三、总结

近几年，高考数学中的数列问题一直作为一个考试的热点，虽然很多数学老师在数列解题上有一些独到的见解，但大多数局限于具体题目的讲解和分析，系统性不强，分析点也不全面。本文首先介绍了高中数列相关的基础知识，在以高考为背景的前提下，分析了数列在高中数学中的重要性，系统阐述了从小学到高中数学中数列循序渐进的过程。在案例部分，对高中数学中的数列问题进行了全面的概括，将常见的数列问题进行了一一分析。主要涉及：（一）求数列通项公式常见的三种类型：第一类问题是利用公式求通项，第二类是根据数列的递推关系式求通项，第三类是根据混合递推关系式求通项。（二）求数列前n项和，常用的方法有以下六种：一是公式法，二是倒序相加法，三是错位相减法，四是裂项相消法，五是分组转化求和法，六是并项求和法。并针对以上问题进行归类总结，给出针对高考数列解题的策略和建议。将近几年来高等数学的思想、方法和观念在高中数学中逐步渗透，并积极探讨，进一步说明了高中数学中数列学习和应用的必要性。本文对高中数学中的数列问题的分析是笔者在教学期间实践研究的初步成果，希望广大同仁对本文提出宝贵意见，将有助于进一步促进该领域的教学研究，笔者在今后的工作中也会不断实践，继续进行不懈研究。

参考文献：