摘要：偶数能被2整除、奇数不能被2整除的理论，从哲学和数学意义上来讲，只涉及到偶数和奇数的差异性和对立性，没有涉及到偶数和奇数的同一性和共性，因此对真理的认识程度并没有形成完整理性认识、这并非凭空而论的、而是凭科学依据实事求是、实话实说、本文只说事不针对任何人，…。

关键词：1、对立性与同一性2、对立统一规律3、哲理整性质4、哲理整分数5、哲理整小数6、奇数（包括素数）能被2哲理整除7、分数单位8、小数单位9、最大分数单位10、最大小数单位等等

1、纯粹数学理论上存在着一个缺陷——缺陷的性质是玄学的：

纯粹数学理论上存在着一个大缺陷与不足，它就是偶数能被2整除、奇数不能被2整除，纯粹数学在理论上根本无法承认和接受2是数学公理，因为奇数不能被2整除自身就是科学根据与铁的事实，（为了便于理解与接受，如果假设偶数与奇数都能被2整除、2是数学公理是理想化的、无可挑剔的，如此真理客观上根本不会存在），即使偶数能被2整除、奇数不能被2整除如此理论也已经是太绝对了，已经给纯粹数学的理论造成了不可思议，奇数不能被2整除、能不能以其他方式被2整除？值得深思探讨与探索——不能还停留在偶数能被2整除、奇数不能被2整除的玄学的理论水平上，…。

2、偶数能被2整除、奇数不能被2整除的理论依然没有对数学真理形成完整的理性认识：

偶数能被2整除、奇数不能被2整除的理论，从哲学和数学意义上来讲，只涉及到偶数和奇数的对立性和差异性，没有涉及到偶数和奇数的同一性和共性，因此对真理的认识程度并没有形成完整理性认识、这并非凭空而论的、而是实事、实话实说、本文只说事不针对任何人，纯粹数学的基本理论分不清是纯数学的理论问题、还是纯哲学的理论问题、纯粹数学的基本理论与哲学的基本原理辩证统一、二者融为有机整体，数学中存在深刻的哲理，哲学大可为数学理论作指导，…。

3、分数、分数单位、最大的分数单位——1/2（拥有哲理整性质）：

为了便于理解与接受，很有必要重温分数概念、定义：把一个单位分成若干等份，表示这样一份或几份的数称为分数，如1/2，1/6，2/7，7/5，1/10，分数的一般形式为m/n(m、n为正整数)，…，n是把一个单位平均分成的份数，称为这个分数的“分母”，1/n是表示其中一份的数，称为“分数单位”，m表示其份数，即m个分数单位，称为这一分数的“分子”中间的横线（本文中是斜线）称为“分数线”，分母n规定不能为零，…，当上述m为负数时m/n为负分数，正分数与负分数统称为分数。

分数单位1/n，当n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，………，则1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，……..、分别是分数单位，（当n=1时，1/n=1/1=1是特殊情况、属于整数分数、应另当别论）……。

很显然，1/2是分数、是分数单位、是最大分数单位拥有十分重要的三重性质，其他分数不具备这三重性质——因为其他普通分数的分数单位均小于1/2，同时提出一个新概念“小数单位”：将分数的分数单位表达成小数的形式就是“小数单位”，例如：0.5，0.33…，0.25，0.2，0.166666…，......，如果有了“小数单位”的概念，那么，因为1/2是最大分数单位，则“0.5”就是最大“小数单位”，如果不能够理解接受、那就强行记忆了、因为它客观存在，学习上许多难以理解接受的东西与真理都是如此接受的，…。

很显然，0.5是小数、是小数单位、是最大小数单位拥有十分重要的三重性质，其他普通小数不具备这三重性质——其他普通小数的小数单位均小于0.5，…。

一个十分重要的根据(谁是谁非真相已大白于天下)：建立有理数系和实数系以及认识、探索寻求有理数系、实数系的真理过程竟然是被人为颠倒的过程、有此为证：《古今数学思想》书中（第四册45页）：指出：“实数系的逻辑结构问题为十九世纪后叶所重视，无理数被认为是主要难点，然而无理数的意义与性质的发展预先假定了有理数系的建立，对无理数理论不同的贡献者来说，或则认为有理数已为众所确认，无须什么基础，或则认为只给出一些匆促而临时应付的方案，…。（316页）数学的第三种主要的哲学，称为形式派（形式主义），它的领导人是希尔伯特，他从1904年开始从事于这种哲学工作，他在那时的动机是给数系提供一个不用集合论的基础，并且确立算术相容性，因为他自己对于几何的相容性的证明已约化成算术的相容性，算术的相容性就成了一个没有解决的关键性问题，…。”，很显然，形而上学小时候“很胖、很棒啊、生下来先天性的会走路了”、长大后却“很瘦”了——“瘦得皮包骨了，生理、机理不健全”，人们经常说小时候胖不算胖，还真是如此啊！…，如此之为，给纯粹数学公理系统造成了有机可乘，公说公有理、婆说婆有理，稍有数学常识的人们，谁都可以拿出一套数学的基本知识指定其为数学公理系统、五花八门，譬如数学的数值实无限、广义连续统假设、数值的实数系等等（只会笼统地说大话、没有任何一个具体实例的数值能具体的表达、体现出实无限、实数系的意义，数理逻辑的字母符号的意义最终还是要依靠数值来体现，当然依然是属于潜无限的范畴），让人很难拿出科学依据否定它，因此说形而上学的错误不可饶恕阿，形而上学者是始作俑者啊！谁是谁非真相已大白于天下了，无容置疑了、无需多言了，……！

换言之，首先得到了实无限的数学真理，潜无限（有理数系）的数学真理还要不要？本文作者非常承认接受数值逻辑不如数理逻辑的优越性、无穷威力和无穷作用，但是请不要忘记了这样一个事实，数理逻辑无限好却不能取代一切，尤其不能取代数值逻辑的意义和作用，数理逻辑无限好，其自身的价值与意义最终还是要依赖数值体现出来，很显然，数理逻辑和数值逻辑相互渗透、相互弥补、克服各自的局限性，…。

本文作者不是不尊敬、不是不崇拜专家，是指我们不应盲目的崇拜啊！都形而上学了、难道还要说对对、是是、好好嘛？！…。

4、1/2拥有哲理整性质、则小数“0.5”拥有哲理整性质：

数学的事物是复杂多变的，表面看似不可思议，如果抓住了事物复杂多变的规律性又是可以理解接受的，要深化理性认识，…。

分数1/2的哲理整性质是指：其他分数的分数单位均小于1/2、绝对值比1/2还零散，换言之最大分数单位1/2的绝对值比其他分数的分数单位的绝对值大、整装，我们把这一相比较而言得到的整装性质与整数分数（比如：1/1=1或0/1，1/1，2/1，3/1，4/1，5/1，6/1，……）的整装性质形成异中之同、差异中的共性与同一性，哲学和数学上将其简称为分数（分数单位）1/2的哲理整性质（注：1/2不仅是分数、而且是分数单位、并且是最大分数单位、具有哲理整性质、拥有十分重要的四重性质了，牢记最大分数单位、绝对不是指普通分数的绝对值大，否则思维会产生错误、混乱）。

很显然：小数0.5的哲理整性质是指：其他普通小数的小数单位均小于0.5、比0.5的绝对值零散，换言之最大小数单位0.5的绝对值比其他普通小数的小数单位的绝对值大、整装，我们把这一相比较而言得到的整装性质与整数的整装性质形成异中之同、差异中的共性与同一性，哲学与数学上将其简称为小数（小数单位）0.5的哲理整性质（注：0.5不仅是小数、而且是小数单位、并且是最大小数单位、具有哲理整性质、拥有十分重要的四重性质了，牢记最大小数单位、绝对不是指普通小数的绝对值大，否则思维会产生错误、混乱，参见第12：说明，会有所帮助理解、接受哲理整性质）。

1/2是最大分数单位、“0.5”是最大小数单位，拥有哲理整性质，不是依靠数理逻辑、形式逻辑证明出来的，而是依靠数值逻辑公理系统、辩证分析、辩证推理而得到的！换言之数理逻辑、形式逻辑无论如何、无法证明其拥有哲理整性质、且也不会有科学根据的完整地回答纯粹数学的理论问题，是切合实际的、无可争辩的、也是非常正常的！千百年来纯粹数学的发展史充分地证明了这一点。

数学发展史上大多数专家都不谈、不提自己解决不了的问题，…，也对也不对，也对：假设是你、我，我也不提自己解不了的问题，也不对：不提、不研究数学真理在理论上又如何向前发展、突破呢？！数学的为什么1+1=2？！不仅是数学真理而且客观存在着，既不理解接受、也不给予支持，如此之为不妥当啊！…。

5、偶数与奇数竟然蕴含着对立统一规律、着实让人费解、不知所措：

偶数能被2整除、奇数不能被2整除，却能被2哲理整除，偶数与奇数二者既存在着对理性又存在着同一性和共性、对立统一，奇数与偶数蕴含着哲学对立统一规律，蕴含着极其深刻的内涵，绝对不能小视或轻视了偶数与奇数这对矛盾，深奥啊！否则认识上存在着片面性——导致形而上学，2或绝对值的1+1=2是数学数值逻辑系统广义公理（狭义上无法理解和接受），因为小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，拥有哲理整性质、为奇数能被2哲理整除提供科学依据，很显然、偶数能被2整除、奇数不能被2整除——传统经典的数学理论存在着一个“漏洞”与缺陷，大专家请您的智慧给数学真理、数学真理的对立统一规律一个小小的支持、也敬请数学教师、哲学给予理解支持！纯粹数学无视小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……的哲理整性质、只把它们看成普通小数、很显然认识上不够深刻、未达到理性的程度，一个非常重要的性质——哲理整性质为奇数能被2哲理整除唯一的提供科学依据，没有第二种途径可供我们人类选择，要珍惜啊，如果丢掉了它就丢弃了数学真理，其他途径和方法都无法得到此科学真理，真的可惜啊！很显然、形而上学犯了一个不大不小的认识错误，形而上学太幼稚，…。

矛盾的差异性、对立性——斗争性是事物自身所固有的性质，不是人为强行加给的，本文所指矛盾的对立性、斗争性，它不同于人与人之间的斗争（争斗），…。

6、如果有谁偶尔提出——为什么1+1=2？！、本文会作出以下回答：

偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数却能被2哲理整除，偶数与奇数二者存在着对立性也存在着共性和同一性，2或绝对值的1+1=2是数值逻辑公理系统广义数学公理，它与经典数论的“1+1”在数值逻辑公理系统上相辅相成、一脉相承，数论的“1+1”是绝对值的1+1=2的另一种体现形式，因为绝对值的完整的数学（算术）公理当然包括着数论的“1+1”，专门提出数论的“1+1”具体研究太绝对了，因为奇数能被2哲理整除、当然也包含着素数能被2哲理整除！数论的“1+1”当然要了解一下基本知识、…、千万不要为此太付出了、因为实无限的事物无穷无尽、永远没有终点、可望不可即；偶数能被2整除，奇数不能被2整除是狭义数学真理，只把数学真理理论对了一半，偶数能被2整除，奇数不能被2整除只涉及到了矛盾的对立性、没有涉及到矛盾的共性和同一性，奇数能被2哲理整除就是矛盾的同一性，因此说，纯粹数学的最最关键的理论只把数学真理演绎了一半，带有玄学的片面性，需要向前发展与突破丰富自身的理论，形成完整的理性认识，…。

7、哲理整小数：

我们把小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…普通小数性质以及它们的哲理整性质统称为哲理整小数；哲理整小数拥有双重性质：一是哲理整性质、二是普通小数性质，自身互相矛盾啊，本文作者深知这的确很难理解与接受啊！但是它又是地地道道、客观存在的数学真理，我没有让人更容易简单理解、接受的语言，只希望人们的悟性比我好了，哲理整小数的重大意义：哲理整性质为奇数能被2哲理整除提供科学依据，给数学真理为什么1+1=2？！提供科学依据，…！

8、广义整数：

我们把整数和哲理整小数统称为广义整数，即我们把0，0.5，-0.5，1，-1，1.5，-1.5，2，-2，2.5，-2.5，3，-3，3.5，-3.5，4，-4，4.5，-4.5，5，-5，5.5，-5.5，……，…统称为广义整数。

我们把偶数能被2整除，奇数不能被2整除、却能被2哲理整除统称为整数能被2广义整除，这也同时说明了2是广义数学公理！无论您是否能够理解和接受它，它都客观存在着，不以人的主观意志而转移！因为真理拥有客观存在性！它在客观上反复起着作用！即使证明不了“1+1”、1+1=2、回答不了为什么1+1=2？，应用数学自身不会出现数值计算错误！

9、应用数学和纯粹数学：

应用数学顺应了1+1=2和为什么1+1=2？的客观规律（客观数学真理），并得到了人类无数次实践的检验，早已被人类的实践证明了是自然科学真理，又一说明，即使证明不了数论的“1+1”、1+1=2、回答不了为什么1+1=2？，应用数学自身不会出现数值计算错误！……！

纯粹数学的理论依然还在“黑暗”中探索——“《古今数学思想》书中(第四册324页)指出：“对于数学基础的根本问题所提出的解答，经典集合论公理化，逻辑主义、直觉主义、（希尔伯特的）形式主义——都没有达到目的，没有对数学提供一个可以普遍接受的途径。在哥德尔1931年的工作以后的发展，也没有在实质上改变这种状况，…，正如韦尔对数学的现状作了恰当的描述：关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决，我们不知道向哪里去找它的最后解答、…。”因为形而上学的东西依然在作怪、左右着人们的数学思维观念，…。

10、辩证法（现代哲学）要关心纯粹数学的理论：

究竟是纯粹数学中的实无限、偶数能被2整除，奇数不能被2整除的理论完全正确？还是纯粹数学的潜无限、偶数能被2整除，奇数不能被2整除、却能被2哲理整除的理论正确、更切合、更符合有理数系的实际？，是数学理论最核心、最为焦点的问题，只有一类是正确的、不能两类观点、理念都同时正确，它是数学的自然辩证法与数学的形而上学两种自然观的较量，很显然，数学基础发展史上数学的自然辩证法惨败给了数学的形而上学，因为迄今为止数学的形而上学的自然观依然占据着数学、数学基础最核心的主导地位！这是极端不正常的现象！…！

偶数能被2整除、奇数不能被2整除，却能被2哲理整除，偶数与奇数二者存在着共性和同一性、奇数与偶数对立统一，数学王国里存在着对立统一规律，那么、我们就有充分的根据和十足的理由让辩证唯物主义哲学（自然辩证法）介入关心过问纯粹数学的理论问题，排斥自然辩证法那就是形而上学的东西在作怪，因此辩证法（现代哲学）要关心纯粹数学的理论问题，……。

11、说明：

0.5和0.1都是哲理整小数0.5的小数单位、因此哲理整小数拥有哲理整和普通小数的双重性质，只承认接受普通小数性质其认识是片面的，只承认接受哲理整性质、不承认接受普通小数的性质其认识是片面的、错误的，务必建立数学数值逻辑公理系统、从公理系统中有根据、有科学依据的总结概括数学的理论和理性认识，坚决反对数学的形而上学、杜绝形而上学的幼稚病与片面性，也许有人会说本文作者一派胡言，作者会说尊敬的您悟性不高不好啊，没关系，在人们的思维理念未转变前，本文仅作为学术最新观点介绍给人们，…。

12、说明：

如果有人提出小数0.6的绝对值大于小数0.5的绝对值，小数0.6应更具有哲理整性质，这是一种误解，不妨我们分析一下，0.6=6/10=1/10*6=0.1*6，很显然，0.6的小数单位是0.1、0.6包含着6个0.1、很零散，其分数单位是1/10，因此0.6——6/10不是哲理整小数、不是哲理整分数，其他普通小数都是如此；如果接受不了再举一个例子例如：小数0.99，0.99=99/100=1/100*99=0.01*99，分数单位是1/100,小数单位是0.01，所以小数0.99不具备哲理整性质，并不是小数的绝对值越大就越拥有哲理整性质，那是一种误解，惟独小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，……，……的绝对值拥有哲理整性质，一个极其重要的性质：它为奇数能被2哲理整除提供科学依据，…。

总之，以上所谈，我们是从经典数论、集合论、算术、哲学（自然辩证法）的角度出发，在数值逻辑公理系统中，辩证分析、辩证推理出的科学的基本结论，在数值逻辑公理系统中，派生子集合、即小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统中差别产生分化出来，占据整数的位置，充分的、十足的体现其哲理整性质，充分地、十足地为奇数能被2哲理整除提供客观的科学依据，本文就不展开具体论述、分析了，因为篇幅太长了令人眼花缭乱，反而不易理解与接受，…；迟到、姗姗来迟的数学真理，敬请专家、数学教师、关心数学的人们指教！

谢谢阅读或赐教！错字、漏字、多字、错误在所难免、敬请谅解。

参考文献：

1、《辩证唯物主义和历史唯物主义原理》，中国人民大学出版社出版。

2、《哲学名词解释》，人民出版社出版。

3、《古今数学思想》（北京大学数学系数学史翻译组译）上海科学技术出版社出版，1981年7月。原作者：（美国）M.克莱因著

4、《普通逻辑原理》，主编：吴家国，高等教育出版社出版，1992年9月。

5、《数学词典》：上海辞书出版社出版，1993年11月。

6、五论《数学基础》数值逻辑有理数系基本理论自身的深刻变革