摘要：数感是人们在数概念扩展中而产生的对数学的一种敏感与一般理解。建立数感有助于提高学生的数学素养，有助于学生对数学知识的自我构建，有助于发展学生的创新精神和实践能力，有助于提高学生的文化修养。

关键词：数感；涵义；教育价值

我国2001年颁发的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《数学课程标准》）在关于学习内容中安排了四个学习领域，指出“课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力”，同时描述了数感的主要表现。在总体目标的具体阐述中，将“建立初步的数感”列入数学思考目标的首项要求，可见，数感已成为我国义务教育阶段数学课程中一个全新的重要内容。

什么是数感？数学课程中安排数感有什么教育价值？自然就成为数学教育工作者十分关注的问题。

一、数感的涵义

“数感”的英文是“NumberSense”，也可以翻译成数觉或数意识。这个在西方数学教育中的常见词语，首次作为我国数学课程的一项培养目标，为我国当前的数学教育传达了一种全新的信息。什么是数感？可以从其历史发展过程中，国内外学者的有关论述中加以考察。

（一）数感是关于数字（量）的直觉

1976年，Carpenter与他的同事分析NAEP数据在估算上的作用之后，得出结论：在学生能很好地进行估算之前，他们一定发展了一种数量的直觉，一种用数字表现量的感觉。[1](34)后来这种关于数量的直觉被称为数感。

1989年在美国的NCTM中，对数感进行了如下的阐述：“数感是一种关于数字的直觉，它从数字的所有不同的意义的表述得以表现。”[1](34)

（二）数感是关于数概念的网络结构

1988年，JudithSowder将数感定义为：“一个具有良好组织的概念网格结构，它能够使一个数字和它相关的操作特性相关联，并且以灵活而有创造性的方式解决数字问题。”[1](34)这就是说，数感是关于数概念的网络结构，这个网络结构是随着数概念的不断扩大（自然数小数有理数实数复数）在人脑中逐步形成的，它帮助人脑接纳数学中的其他知识，使人开始以数为基础逐步建构数学知识系统，并且能够自觉选择灵活而有创造性的方式解决数字（量）问题。

（三）数感是与数字相关的教育目的的非精确形式

1989年，Resnick用非决定论的、开放式的思考对数感进行了阐述：数感抵抗我们已经在学校教育中所设定的以联系被指定目的的精确形式。[1](34)即是说，作为一项教育目的，对于设定的与数字相关内容的精确形式而言，数感是相应的非精确形式。然而，当它发生的时候，列出数感的主要特征是相对容易的。（1）数感是非算法。那是因为行动的路径不被预先完全叙述。（2）数感是合成物。总路径不是“看得见”（心理上）地来自任何单一观点。（3）数感包括细微的判断力和解释。（4）数感包括多标准的运用，有时各标准之间会彼此冲突。（5）数感时常不确定。不是与任务有关的每件在手边的事物都是已知的。（6）数感包括思考程序的自我规则。（7）数感思考是需要努力的。

（四）数感是对于数和运算的一般理解

1999年，RobertRey、BarbaraRey等六位学者在对澳大利亚、瑞典、美国以及我国台湾的8~14岁学生数感的评定研究中提出，数感是指“对于数和运算的一般理解，连同这种能力和倾向一起的是使用这种理解去灵活地作出数学判断，并且发展有用、有效率的策略去处理具体的数学情境。它导致一种关于使数字变成一种有意义的实体的数字观点，以及关于数学的操作和成果可以产生感觉的期望。”[1](34)

2001年，《数学课程标准》在关于学习内容的说明中，描述了数感的主要表现：“理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估算运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”这些表现说明，我国数学课程中的数感主要是指对数和运算的一般理解。

2002年，我国学者马云鹏、史炳星认为：数感是人对数与运算的一般性理解。这种理解可以帮助人们用灵活的方法作出数学判断和为解决复杂的数学问题作出有用的策略。在中小学数学教学中，发展学生的数感主要是指：使学生具有应用数字表示具体的数据和数量关系的能力；能够判定不同的算术运算，有能力进行计算，并具有选择适当的方法（如心算、笔算、使用计算器）实施计算的经验；能依据数字进行推论，并对数据和推论的精确性和可靠性进行检验。建立数感可以理解为会“数学地”思考，这是十分重要的。[2]

2002年，我国台湾学者DerChingYang关于数感的表述是：“一个人对于数字和运算的一般理解，以及处理日常生活中包括数字情境的一般能力，例如：形成有用的、灵活的和有效的策略（包括心算或估算）去处理数字问题。”[1](34)

（五）数感是对于数字（量）的敏感及鉴别能力

2002年，我国学者郑毓信认为：为了说明数感，可以先看一些类似词语的用法，如“语感”“方向感”“美感”“质感”等。显然，这些词语都代表了一种相关的能力，但与能力相比，又都含有一种“直感”的涵义，特别是指对于某些特定的事物或现象或属性或方面的敏感性，及相关的鉴别（鉴赏）能力。而后者通常又并非是一种自觉的过程，仿佛已经成了主体的一种本能，一种直接的“感知”，从而在很多情况下是说不清、道不明的。[3]根据以上描述，数感可以理解为对于数字（量）的敏感及鉴别能力。

（六）数感是数概念扩展中产生的一种对数学的敏感与理解

通过以上对数感的历史发展中各种定义的考察，笔者认为，数感是人们在数概念的扩展中而产生的对数学的一种敏感与一般理解。

（1）这种敏感与理解是对数字（量）的直觉，它帮助人们对数字（量）的直感迅速地反应为数学问题，使数学问题从感知层面敏捷地链接到数学思维。

（2）这种敏感与理解是关于数概念的网络结构。这个网络结构帮助人们以数为基础掌握更多的数学知识，以选择灵活而有创新的方式解决数量问题。

（3）这种敏感与理解具有非算法、非单一、非确定、非逻辑等特点，其反应时间短，稳定性差，是所需解决的问题与数学思维之间的按钮，其灵敏度与数概念网络结构的个性化有关。

二、数感的教育价值

数感的涵义及其特征，决定了数感的教育价值。正是对数感教育价值的认识，美国2000年的NCTM第32页中强调指出：“这个标准的核心就是发展数感。”《数学课程标准》也首次将数感安排为学习内容，并列为“数学思考”中的重要目标。数学课程中安排数感的教育价值，可以从如下四个方面理解。

（一）建立数感有助于提高学生的数学素养

作为公民素养之一的数学素养，不只是用计算能力的强弱和解决书本问题能力的大小来衡量。学生学会数学地思考问题，具有理解和解释实际问题的数学敏感，是数学素养的重要标志。即是说，数感的建立是提高学生数学素养的重要标志。

例如，一个小学一年级学生学习了自然数的意义之后，懂得了自然数可以表示物体的个数，当他看见盘子里的苹果时，不再是注意苹果的颜色，而是关注苹果的个数，并且懂得比较两个盘子中苹果的多少。于是可以认为这个小学生具有了自然数感，这是他数学素养提高的标志。又如，一个初中毕业生，学了不少数学知识，但不会估计学校运动场的大小，不会用恰当的方式向别人说明自己所在的位置，不能在需要的时候用数学方式解释某些现象，这样的学生不能说是具有较高的数学素养。

学生数学素养形成的关键是在具体的问题情境中去探索、去发现，学会从现实情境中提出问题，找出数学模型。从一个复杂的情境中发现问题，就需要具备一定的数感。培养学生的数感，让学生学会数学地思考，有助于提高学生的数学素养，克服数学教育中过分地强调知识与技能训练、忽视数学与现实的联系、忽视数学的实际运用等倾向。

（二）建立数感有助于学生对数学知识的自我构建

我们知道，数感是关于数概念的网络结构，数概念网络是接受数学知识的一个平台。数概念网络结构的形成和稳定是数感建立的关键，数感的建立有助于学生对数学知识的自我构建。

例如，学生学习了负数的概念，当他购物支出5元钱时，就会与负数建立联系──用“-5”来表示这一问题。又如，怎样为参加学校运动会的全体运动员编号？要求从号码上就可以分辨出年级和班级，区分出男生和女生，表示出参加的项目类别。这是一个实际问题，它没有固定的编排方式，而且不同的编排方式在实用性上是不同的。学生对于这一问题有效地解决，也要依托于数感的建立。

（三）建立数感有助于发展学生的创新精神和实践能力

学生在数感建立的过程中，有很多机会接触和体验现实问题，交流自己对有关数的问题的个性化看法，用不同的方式思考和解决同一问题，对原有的数学知识结构进行改造。这无疑有助于发展学生的创新精神和实践能力。

例如，德国数学家高斯小时候对于“1+2+3+…+100=？”问题的解决，就是一个由数感促进创新的典型案例。又如，池塘水面上生长着浮萍，浮萍所占水面面积每天增加1倍。经过100天，整个池塘长满了浮萍。问经过多少天，浮萍所占面积是池塘水面面积的一半？从表面上来看，这是一个指数方程的问题。如果学生具有良好的数感，对“浮萍所占水面面积每天增加1倍。经过100天，整个池塘长满了浮萍”就会产生一种敏感与理解，从而从隐秘形式中发现问题的实质：长满浮萍的前一天，即经过99天，浮萍所占面积正好是池塘水面面积的一半。

数感是一种对数字（量）的直觉：“拿创造来说，关键是直觉……直觉像是思维的‘感觉’；人们通过感官的感觉，只能认识事物的现象，可是用直觉就能够认识事物的本质和规律性，所以直觉也可以说是思维的洞察力。”[4]具有良好数感的人，就会凭借对数字（量）的本质认识建构自身的数概念网络，有效地接纳数学知识，形成良好的数学意识。在遇到实际问题时，就会灵敏地链接数学思维，从而进行数学地思考，创造性地解决实际问题。

（四）建立数感有助于提高学生的文化修养

从数学文化学的观点来看，数学是一种具有独特价值的人类文化。数学文化的独特价值，一是体现在它的兼容性上，即它支撑着科学技术的各个领域，包容着人文精神的方方面面。正如数学家克莱因所说：“音乐激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善生活，但数学却能提供以上的一切。”数学家在赞美数学时，即使是不同的流派，在这一点上也是异口同声的。二是体现在它的先进性上。这是由功利和非功利两个方面的先进性所决定的。当数学与科学技术相结合时，就能转化为强大的物质力量，创造出新的、先进的社会生产力，这是数学文化价值的功利方面；抽象而具有神秘魅力的数学，同时还蕴涵了高深莫测的哲学、美学、语言学等人文精神，抽象数学中许多没有直接“用处”的成果，可以提高人的文化修养和文化品格，是人类文化中的无价瑰宝，这是数学文化价值的非功利方面。[5]

数感是数学文化的一个重要成分。建立数感有助于提高学生的文化修养，主要表现为三个方面：第一，数感是人们对数学的一种敏感与理解，是数学（理性）精神形成的基础；第二，数感是数学思考的催化剂，是思维发展的阶段性（精神）成果；第三，数感是一种认知的直觉，是创新精神培养的关键。具有良好数感的人，在遇到实际问题时，就会凭借对问题的直觉，触发创新思维的按钮，探究问题解决的创造性策略。

参考文献：

［1］叶蓓蓓.对数感的再认识与思考［J］.数学教育学报，2004，13（2）：34—36.

［2］马云鹏，史炳星.认识数感与发展数感［J］.数学教育学报，2002，11（2）：46—49.

［3］郑毓信.“数感”“符号感”与其他──《课程标准》大家谈［J］.数学教育学报，2002，11（3）：30—32.

［4］周昌忠.创造心理学［M］.北京：中国青年出版社，1983.

［5］滕发祥.论数学课程独特的文化教育功能［J］.数学教学通讯，2001，（8）：5—7.