微积分论文范文第1篇

1.基于数学史背景的微积分教学 

2.微积分方法在初等数学中的应用研究 

3.谈微积分中的数学思想及其教学

4.高中微积分教学中融入数学文化的初步研究 

5.微积分教学中渗入数学文化的实践与思考 

6.数学建模思想融入微积分课程教学初探  

7.微积分教学中渗透数学文化的重要性及做法  

8.微积分在数学建模中的应用 

9.数学文化价值取向下微积分学中的哲学思想 

10.“微积分”教学中融入数学文化的教学设计 

11.数学文化融于微积分教学的实践与思考 

12.微积分数学模型在建筑异形体变力做功中的应用

13.数学文化视角下的微积分教学举例

14.微积分中的数学文化与高职数学教育 

15.数学软件在微积分教学中的几点应用  

16.微积分中数学文化教学的案例与分析

17.了解数学史 走进微积分——讲好“导数及其应用”的开场课 

18.将数学背景融入微积分教学的实例 

19.学点数学史 教好微积分  

20.建构主义视角下高职数学微积分教学方式的改革措施

21.高等数学微积分教学的重点和难点分析

22.微积分在大学数学学习和生活中的应用 

23.微积分教学中的数学思想方法的探究 

24.微积分教学中融入数学建模的思想和方法(续完)——融入从大学第一堂数学课开始

25.美国微积分课程改革对高职工科高等数学课程建设的启示

26.浅谈高等数学微积分在实践中的应用 

27.微积分、数学模型及其它 

28.分析大学数学微积分教学的改革策略  

29.高中微积分教学中融入数学文化的初步研究 

30.浅谈微积分在初等数学中的应用 

31.微积分教学中融入数学建模的思想和方法(待续)——融入从大学第一堂数学课开始

32.微积分中数学语言的时序性 

33.微积分中蕴含的数学美 

34.微积分在初等数学教学中的作用 

35.微积分教学中如何融入数学文化

36.《数学手稿》微积分思想在《资本论》中的体现及启示

37.高职院校《高等数学》微积分内容的教学方法探讨 

38.数学建模思想融入微积分课程教学初探

39.《微积分与数学模型》教材编写基本思想 

40.大学微积分与高中数学的衔接  

41.微积分、数学模型及其它 

42.高中数学“微积分”模块教学的探讨 

43.探究微积分与中学数学的关联 

44.高等数学微积分理念的多领域应用分析  

45.数学史知识融入微积分教学的探索 

46.将数学实验思想融入经管类专业微积分教学的实践研究

47.用数学软件辅助微积分教学的实践与认识

48.关于非数学专业的微积分教学改革 

49.微积分学形成过程中的数学哲学思想与科学方法 

50.微积分中的数学美赏析  

51.中医阴阳理论的数学模型之建立及其微积分定量的研究 

52.浅谈微积分教学中数学思想方法及应用 

53.例说微积分知识在数学解题中的应用 

54.高职数学微积分教学改进的思考  

55.微积分教学中融合数学文化的初步探讨  

56.微积分课程教学中培养学生数学审美能力的探讨 

57.数学建模融于微积分教学的探索与实践 

58.《经济数学基础(微积分)》精品课程建设的实践与探索

59.微积分在高中数学教育中的意义

60.在微积分教学中融入数学建模思想 

61.微积分的地位与《数学分析》教学改革 

62.高等数学中微积分证明不等式的探讨 

63.高等数学中微积分思想在其它学科的应用  

64.大学高等数学微积分教学对策

65.美国微积分教育的改革及其对我国非数学专业微积分教育的启示

66.网络环境下高职数学课程中微积分基本定理的教学反思 

67.微积分在高中数学解题中的应用  

68.高等数学教学与大学生素质培养探析——微积分理论的延伸 

69.微积分——数学发展的里程碑 

70.将数学建模思想融入微积分课程教学

71.微积分教学与导学中数学思维培养  

72.大学微积分与高中数学基础知识衔接问题的研究

73.中外高中数学教材比较(微积分部分) 

74.在微积分课程教学中增加数学实验的实践与探索

75.中、新、韩、日四国高中数学课程标准的比较研究——以微积分内容标准为例

76.揭示《微积分》中的数学美

77.美国微积分教材对理工科高等数学教材改革的启发

78.数学美学和HPM视角下的微积分教学对策研究——以线面积分为例

79.美国教材《微积分》给我们的启示——谈大众化高等教育中的数学教育 

80.数学文化在实践中的渗透应用——以微积分及教学为例 

81.浅谈微积分学习对提高小学数学教师素质的作用 

82.微积分课堂教学与数学建模思想

83.例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用 

84.浅谈高等数学中微积分的经济应用 

85.微积分的数学美  

86.微积分在数学建模中的应用 

87.微积分理论在农业科学研究中建立数学模型的应用 

88.以微积分课程为例谈成人高等教育高等数学实验课案例教学

89.在高中数学中如何进行微积分教学 

90.浅析数学软件融入到微积分教学中的模式实践应用分析

91.新课程标准下大学数学(微积分部分)与中学数学衔接问题的研究

92.模块教学法在高等数学微积分教学中的应用 

93.浅谈大众数学思想下的微积分教学改革  

94.数学软件Mathematica在微积分教学中的应用 

95.用辩证观看初等数学与微积分  

96.例谈微积分方法在初等数学教学中的应用 

97.在微积分教学中传授数学思想方法

98.微积分在大学数学学习和生活中的应用 

99.微积分在中学数学中的指导作用 

100.几个值得商榷的问题——评同济大学应用数学系编《微积分》  

101.浅谈微积分教学中学生数学素质的培养  

102.微积分在初等数学中的一些应用  

103.微积分学中若干问题的数学化归方法 

104.美国微积分教学变革对我国高职高等数学教学改革的启示

105.高等数学中微积分教学方法的探究 

106.微积分方法在初等数学教学中的应用 

107.浅谈Matlab在高等数学微积分计算中的应用 

108.微积分在初等数学中的应用 

109.数学变换思想在微积分中的应用  

110.MathCAD在高职数学教学中的微积分应用 

111.高等数学微积分教学的策略探讨  

112.考研数学中微积分几类典型问题的一般方法

113.微积分MATLAB数学实验 

114.中职数学中微积分教学的几点思考  

115.一本美国微积分教材简介及高等数学教材改革初探 

116.新课程标准下大学数学(微积分部分)与中学数学衔接问题的研究

微积分论文范文第2篇

学好数理化，走遍天下都不怕。写好数学论文的前提是需要有拟定一个优秀的数学论文题目，有哪些比较优秀的数学论文题目呢？下面小编给大家带来2021最新数学方向毕业论文题目有哪些，希望能帮助到大家!

中学数学论文题目1、用面积思想方法解题

2、向量空间与矩阵

3、向量空间与等价关系

4、代数中美学思想新探

5、谈在数学中数学情景的创设

6、数学创新思维及其培养

7、用函数奇偶性解题

8、用方程思想方法解题

9、用数形结合思想方法解题

10、浅谈数学教学中的幽默风趣

11、中学数学教学与女中学生发展

12、论代数中同构思想在解题中的应用

13、论教师的人格魅力

14、论农村中小学数学教育

15、论师范院校数学教育

16、数学在母校的发展

17、数学学习兴趣的激发和培养

18、谈新课程理念下的数学教师角色的转变

19、数学新课程教材教学探索

20、利用函数单调性解题

21、数学毕业论文题目汇总

22、浅谈中学数学教学中学生能力的培养

23、变异思维与学生的创新精神

24、试论数学中的美学

25、数学课堂中的提问艺术

26、不等式的证明方法

27、数列问题研究

28、复数方程的解法

29、函数最值方法研究

30、图象法在中学数学中的应用

31、近年来高考命题研究

32、边数最少的自然图的构造

33、向量线性相关性讨论

34、组合数学在中学数学中的应用

35、函数最值研究

36、中学数学符号浅谈

37、论数学交流能力培养(数学语言、图形、符号等)

38、探影响解决数学问题的心理因素

39、数学后进学生的心理分析

40、生活中处处有数学

41、数学毕业论文题目汇总

42、生活中的数学

43、欧几里得第五公设产生背景及对数学发展影响

44、略谈我国古代的数学成就

45、论数学史的教育价值

46、课程改革与数学教师

47、数学差生非智力因素的分析及对策

48、高考应用问题研究

49、“数形结合”思想在竞赛中的应用

50、浅谈数学的文化价值

51、浅谈数学中的对称美

52、三阶幻方性质的探究

53、试谈数学竞赛中的对称性

54、学竞赛中的信息型问题探究

55、柯西不等式分析

56、中国剩余定理应用

57、不定方程的研究

58、一些数学思维方法的证明

59、分类讨论思想在中学数学中的应用

60、生活数学文化分析

数学研究生论文题目推荐1、混杂随机时滞微分方程的稳定性与可控性

2、多目标单元构建技术在圆锯片生产企业的应用研究

3、基于区间直觉模糊集的多属性群决策研究

4、排队论在交通控制系统中的应用研究

5、若干类新形式的预条件迭代法的收敛性研究

6、高职微积分教学引入数学文化的实践研究

7、分数阶微分方程的Hyers-Ulam稳定性

8、三维面板数据模型的序列相关检验

9、半参数近似因子模型中的高维协方差矩阵估计

10、高职院校高等数学教学改革研究

11、若干模型的分位数变量选择

12、若干变点模型的经验似然推断

13、基于Navier-Stokes方程的图像处理与应用研究

14、基于ESMD方法的模态统计特征研究

15、基于复杂网络的影响力节点识别算法的研究

16、基于不确定信息一致性及相关问题研究

17、基于奇异值及重组信任矩阵的协同过滤推荐算法的研究

18、广义时变脉冲系统的时域控制

19、正六边形铺砌上H-三角形边界H-点数的研究

20、外来物种入侵的广义生物经济系统建模与控制

21、具有较少顶点个数的有限群元阶素图

22、基于支持向量机的混合时间序列模型的研究与应用

23、基于Copula函数的某些金融风险的研究

24、基于智能算法的时间序列预测方法研究

25、基于Copula函数的非寿险多元索赔准备金评估方法的研究

26、具有五个顶点的共轭类类长图

27、刚体系统的优化方法数值模拟

28、基于差分进化算法的多准则决策问题研究

29、广义切换系统的指数稳定与H_∞控制问题研究

30、基于神经网络的混沌时间序列研究与应用

31、具有较少顶点的共轭类长素图

32、两类共扰食饵-捕食者模型的动力学行为分析

33、复杂网络社团划分及城市公交网络研究

34、在线核极限学习机的改进与应用研究

35、共振微分方程边值问题正解存在性的研究

36、几类非线性离散系统的自适应控制算法设计

37、数据维数约简及分类算法研究

38、几类非线性不确定系统的自适应模糊控制研究

39、区间二型TSK模糊逻辑系统的混合学习算法的研究

40、基于节点调用关系的软件执行网络结构特征分析

41、基于复杂网络的软件网络关键节点挖掘算法研究

42、圈图谱半径问题研究

43、非线性状态约束系统的自适应控制方法研究

44、多维power-normal分布及其参数估计问题的研究

45、旋流式系统的混沌仿真及其控制与同步研究

46、具有可选服务的M/M/1排队系统驱动的流模型

47、动力系统的混沌反控制与同步研究

48、载流矩形薄板在磁场中的随机分岔

49、广义马尔科夫跳变系统的稳定性分析与鲁棒控制

50、带有非线性功能响应函数的食饵-捕食系统的研究

51、基于观测器的饱和时滞广义系统的鲁棒控制

52、高职数学课程培养学生关键技能的研究

53、基于生存分析和似然理论的数控机床可靠性评估方法研究

54、面向不完全数据的疲劳可靠性分析方法研究

55、带平方根俘获率的可变生物种群模型的稳定性研究

56、一类非线性分数阶动力系统混沌同步控制研究

57、带有不耐烦顾客的M/M/m排队系统的顾客损失率

58、小波方法求解三类变分数阶微积分问题研究

59、乘积空间上拓扑度和不动点指数的计算及其应用

60、浓度对流扩散方程高精度并行格式的构造及其应用

专业微积分数学论文题目1、一元微积分概念教学的设计研究

2、基于分数阶微积分的飞航式导弹控制系统设计方法研究

3、分数阶微积分运算数字滤波器设计与电路实现及其应用

4、分数阶微积分在现代信号分析与处理中应用的研究

5、广义分数阶微积分中若干问题的研究

6、分数阶微积分及其在粘弹性材料和控制理论中的应用

7、Riemann-Liouville分数阶微积分及其性质证明

8、中学微积分的教与学研究

9、高中数学教科书中微积分的变迁研究

10、HPM视域下的高中微积分教学研究

11、基于分数阶微积分理论的控制器设计及应用

12、微积分在高中数学教学中的作用

13、高中微积分的教学策略研究

14、高中微积分教学中数学史的渗透

15、关于高中微积分的教学研究

16、微积分与中学数学的关联

17、中学微积分课程的教学研究

18、高中微积分课程内容选择的探索

19、高中微积分教学研究

20、高中微积分教学现状的调查与分析

21、微分方程理论中的若干问题

22、倒向随机微分方程理论的一些应用：分形重倒向随机微分方程

23、基于偏微分方程图像分割技术的研究

24、状态受限的随机微分方程：倒向随机微分方程、随机变分不等式、分形随机可生存性

25、几类分数阶微分方程的数值方法研究

26、几类随机延迟微分方程的数值分析

27、微分求积法和微分求积单元法--原理与应用

28、基于偏微分方程的图像平滑与分割研究

29、小波与偏微分方程在图像处理中的应用研究

30、基于粒子群和微分进化的优化算法研究

31、基于变分问题和偏微分方程的图像处理技术研究

32、基于偏微分方程的图像去噪和增强研究

33、分数阶微分方程的理论分析与数值计算

34、基于偏微分方程的数字图象处理的研究

35、倒向随机微分方程、g-期望及其相关的半线性偏微分方程

36、反射倒向随机微分方程及其在混合零和微分对策

37、基于偏微分方程的图像降噪和图像恢复研究

38、基于偏微分方程理论的机械故障诊断技术研究

39、几类分数阶微分方程和随机延迟微分方程数值解的研究

40、非零和随机微分博弈及相关的高维倒向随机微分方程

41、高中微积分教学中数学史的渗透

42、关于高中微积分的教学研究

43、微积分与中学数学的关联

44、中学微积分课程的教学研究

45、大学一年级学生对微积分基本概念的理解

46、中学微积分课程教学研究

47、中美两国高中数学教材中微积分内容的比较研究

48、高中生微积分知识理解现状的调查研究

49、高中微积分教学研究

50、中美高校微积分教材比较研究

51、分数阶微积分方程的一种数值解法

52、HPM视域下的高中微积分教学研究

53、高中微积分课程内容选择的探索

54、新课程理念下高中微积分教学设计研究

55、基于分数阶微积分的线控转向系统控制策略研究

56、基于分数阶微积分的数字图像去噪与增强算法研究

57、高中微积分教学现状的调查与分析

58、高三学生微积分认知状况的思维层次研究

59、分数微积分理论在车辆底盘控制中的应用研究

微积分论文范文第3篇

关键词：微积分 牛顿 莱布尼兹 极限

1. 数学对自然科学的影响

数学是自然科学的基础学科，自然科学的发展离不开数学的发展。尤其是数学中的微积分理论 ，对整个自然科学的发展起了极大的推动作用 ，为自然科学中一些现象的解释提供了坚实的理论基础，使有限和无限、连续和离散、代数和几何形成了有机的结合与统一。在数学的众多学科分支中，就严谨性、应用性和简洁性而言，微积分应是最具代表性的学科之一。微积分以简洁、优美的形式把运动学问题、磁场问题、几何中曲线的切线问题、函数中最值问题、曲线长度及曲面面积和立体体积问题总结于一个高度统一的理论体系之中。因而，这一理论的产生被誉为数学史上乃至人类文明史上的伟大创造，受到历代数学家、物理学家、哲学家的盛赞。如果我们对其历史和现状作一番认真的考究，追溯这一理论产生的历史，将会使我们更深刻的认识到数学对自然科学发展所起的深刻影响。于此，微积分提出之后，遭到了许多人的猛烈抨击，其中也包括一些著名的数学家。牛顿继承和总结了先辈们的思想，作出了自己独到的建树。他把自己的发现称为“流数术”，称连续变化的量为流动量，无限小的时间间隔为瞬，而流量的速度称为流动率或流数。牛顿的“流数术”就是以流量、流数和瞬为基本概念的微分学，主观唯心论哲学家贝克莱是抨击微积分理论最强有力的人物。他愤恨牛顿的微积分理论给唯物论以支持，于是向流数术展开了猛烈的攻击。1734年，贝克莱出版了一本书:《分析学家:或一答致不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘，教义的主旨有更清晰的陈述，或更明确的推理。

2.关于微积分的本原问题

2．1 微积分使极限理论更加成熟

我们知道微积分的基础是极限论，而牛顿、莱布尼兹的极限观念是十分模糊的，牛顿的瞬和流数，莱布尼兹的dx和dy究竟是什么含义? 在他们各自的著述中没有给出明确和一贯的定义，在运用时也显得前后不一。牛顿和莱布尼兹在使用无限小量时，有时视瞬或dx为无限小增量，而有时视之为一个有限量加以运算，甚至把它作为零而忽略不计，这就在逻辑上造成明显的矛盾。牛顿曾用有限差值的最初比和最终比――一种萌芽状态的极限概念来说明流数的意义。但是当差值还未达到零时，其比值不是最终的，而当差值达到零时，它们比是0。怎样理解这样的最终比，牛顿也承认自己的方法只作出“简略的说明，而不是正确的论证。”而莱布尼兹的微积分以后，连当时在数学上颇有造诣的数学家象Bernoulli兄弟也颇感费解:“与其说有一种说明，还不如说是一个谜。”究竟极限是什么?无穷小是什么?在今天很容易理解。但在十九世纪以前还是一个数学上本质性的难题。基极限思想在当时也散见于各个时代著作中，如中国《庄子?天下篇》中“一尺之棰”、Zeno悖论、Endoxus的“穷竭法”、刘微的“割圆术”等和极限思想有直接关系，但这些都只能说是对极限有些模糊认识而已。十八世纪，许多数学家为维护微积分的应用价值和美学价值，在回击来自数学界内外的攻击同时，竭尽所能使微积分在理论上严密化、逻辑化，在形式更趋完美。在十八世纪前期，许多数学家，尤其是英国数学家总是企图使微积分与欧几里得几何结合起来，他们试图借助于几何学中论证之严谨体系去完善微积分。但这一努力是失败的，打破这一僵局的大数学家欧拉，他以代数方式研究微积分，力图用形式演算方式代替累赘的几何语言，使微积分建立在算术和代数基础上。达朗贝尔把牛顿的“最终比”发展为一种极限概念，并试图用极限加以定义和说明。他认为应以极限理论作为微积分的理论基础，这一思想在数学界产生了极其深远的影响。直到1821年以后，柯西出版他的《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中应用》这几部具划时代意义的名著之后，微积分一系列基础概念及理正式明确地确定下来。自此以后，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和概念也建立较坚实的理论基础之上―极限理论。我们现在所谓的极限的柯西定义或年之后半个世纪经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西把整个极限过程用不等式来刻画，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。维尔斯特拉斯将柯西的完成了现今的-方法，形成了微积分的严谨之美。

2．2微积分―――状态与过程的统一

微积分是十七世纪数学所达到的最高成就。微积分出现以后，逐渐显示出它非凡的威力，过去许多数学家束手无策的问题，至此迎刃而解。恩格斯指出:“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明过程:运动。”然而，在十九世纪以前，微积分理论历史发展始终包含着矛盾:一方面纯粹分析及其应用领域中呈现出一个接一个的伟大发现与成就；另一方面则是基础理论的含糊性。事实上，无论是牛顿还是莱布尼兹，他们对微积分所作的论证都是不很严谨的和不清楚的。在欧洲大陆方面，莱布尼兹的含糊也招致了尼文（Nieuwentijt，荷兰哲学家）的反对。荷兰的物理学家和几何学家纽文也就一系列问题公开提出质问:无限小量与零怎样区别?无限个无限小量之和为什么能够是有限量?在推理过程中为什么能舍弃无限小量?包括一大批数学家也群起而攻之。尽管他们承认微积分的效用，欣赏微积分的美学价值，但却不能容忍这种方法的理论本身如此含糊甚至令人感到荒谬。法国数学家罗尔微积分为:“巧妙的谬论的汇集。”法国思想家伏尔泰则说微积分是一种“精确的计算和度量其存在无从想象的东西的艺术”。贝克莱和尼文太对微积分的攻击纯粹是消极的，他们不能给微积分以严格的基础，但他们的论点都有一定道理，在一定程度上它激励了微积分进一步的建设性工作。例如突变函数论、非线性泛函分析等学科的建立。因此，人们追求数学美，以达到精神上的愉悦，而这一点正是通过数学家经由数学的“神秘美”、“奇异美”和“朦胧美”，而最终达到完备的“统一美”和“和谐美”。

2.3微积分―――分析与几何的统一

微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在还是产生于纯思维的问题。唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。唯心主义认为纯数学产生于纯思维。它可以先验地，不需利用外部世界给我们提供的经验，而从头脑中创造出来。杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是这种观点的代表。牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。他们分别在研究质点运动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学。各自独立地创立了微积分。这个功劳是应该肯定的。但是，他们没有很好注意到微积分同现实世界的亲缘关系。其运算出发点是先验的。所以，马克思把牛、莱的微积分称为“神秘的微分学”唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学恩格斯指出：“数学是从人的需要中产生的”微积分是从生产斗争和科学实验的需要中产生的。生产实践对微积分的创立起着决定的作用。从十五世纪开始，资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。到十七世纪，资本主义生产方式有了巨大发展。随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。它们跑出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。微积分的创立就是为了处理十六、十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。这些问题归纳起来大致分为四类：一是已知物体运动的路程与时间的函数关系，求速度和加速度；反过来，已知物体运动的速度和加速度与时间的函数关系，求路程。二是求曲线的切线。三是求函数的极大值、极小值。四是求曲线的弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积等求积问题上述四类问题，形式各不相同，但有着共同的本质，即都是反映客观事物的矛盾运动过程。其中的量都在不断变化着。因此，研究常量的初等数学无法解决这些问题。生产和科研的需要，促使数学由研究常量向研究变量转化。于是微积分在传统代数学的长期孕育中，经《解释几何》这个“助产婆”的接生“而分娩了”。所以，恩格斯说：“数学的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学。有了变数，辩证法进入了数学。有了变数，微分学和积分学也就立刻成了必要的了”。

3.牛顿―莱布尼茨公式――联结微分与积分的桥梁

唯物辩证法是关于普遍联系的科学。微分与积分是一对矛盾的两个方面。它们之间的联系集中表现在互逆关系上。微分是已知原函数求导数（微商）；积分则是已知导数求原函数。微分与积分的互逆关系，揭示了导数与原函数的对立统一关系。原函数经过微分转化为导数。导数在积分过程中又还原为原函数。微分与积分相互转化的辩证过程普遍存在于自然界中。前面说过，水分子的蒸发与凝聚的过程就是微分与积分矛盾转化的过程；在几何学中长与宽、面积与体积的相互转化；在物理学中路程与速度、速度与加速度的相互转化，都可以用微分与积分相互转化来描述。微分与积分这种相互联系、相互转化的辩证内容尽管在现实世界早已存在。但在数学领域里，这种互逆关系在“牛顿―莱布尼茨公式”诞生前一直被隐藏，未被人们所认识。这是因为微分与积分在发展历史上各有渊源。在几何学中，前者和计算切线的斜率有关。后者则和计算曲边形的面积相联系。牛顿、莱布尼茨之所被认为是微积分的创立者，主要是他们发现了微分与积分的互逆关系，找到了根据导数求原函数的一种简便方法，从而把表面上互不相干的两种运算统一起来了，使微分与积分成为一种普遍意义的强有力的数学方法，为数学的发展开发开辟了一条新的康庄大道。牛顿―莱布尼茨公式是微积分的基本原理。它表述为设函数?（x))在（a? b)上连续。如果函数F（x）是函数?（x）的一个原函数，则有：b ∫ ?（x）dx＝F（b）-F（a）a这个公式左边是一个定积分，右边是原函数在（a?b）两端值的差。它把数轴在一个区间的定积分同这个区间端点的原函数联系起来了，揭示了微分与积分的对立统一关系。为了说明这个问题，我们从分析具体问题入手，先来考察质点在直线上的变速运动。设时刻t时质点在直线上的位置是s（t），那么从时刻t＝a到时刻t＝b这一区间，质点运动的路程为s（b）-s（a）。这是质点运动的一个方面。

再从另一个方面看。设已知质点在时刻t内的瞬时速度为u(t），我们用另一种方法可从u（t）计算出质点所走过的路程为：b ∫ u（t）dta 由于这两个表达式都是表示同一质点在同一时间内所走过的路程，因而应该是相等的，即b ∫ u（t）dt＝ S(b)-S（a） a 从微分角度看，路程函数S(t)的微商是速度函数u(t)dS(t) ― ＝u(t) 或 dS（t）＝u（t）dt dt b从积分角度看，速度函数u（t)的积分值∫ u（t）dt a 表达了路程函数S(t)的两点值之差S（b)-S(a)。这里的b是任意固定的，有一个b就有一个S（b)与之对应。这样当我们深入一步，从运动的角度看公式时，即把b视为变量t，它给出了用定积分表达路程函数的方法：t ∫ u(t)dt＝S（t)-S（a）at 这就用变上限的积分∫ u(t)dt表达了路程函数S（t)。因而 adF(x)＝?(x)dx在区间（a?b）上的无限积累。微分与积分的同一性与差异性都包函在牛―莱公式之中。其同一性的一面是微分与积分共处于牛―莱公式之中，互相依存，互相贯通，在一定的条件下相互转化。原函数在微分条件下转化为导函数；导函数在积分条件下转化为原函数。微分把“有限”转化为“无限”，而积分又把“无限”转化为“有限”。牛―莱公式就是在这种“有限――无限――有限”的转化中，把定积分计算变为不定积分计算，把繁杂的极限计算转化为原函数两点值之差的运算。从而找到了计算定积分的捷径。然而，牛―莱公式的两边不是绝对的同一，绝对的统一，绝对的转化，而的有差别的同一，对立的统一，有条件的转化。公式的两边仅仅是数量上的同一，两边各自的性质、地位与作用并不相同。这个不同正是微分与积分的差异性，即互逆关系的表现。归纳起有三个方面：其一，两者所反映的事物性质不同。在物理学中微分所描述的是物体运动的路程向速度转化以及速度向加速度转化的过程；而积分却反其道而行之，它描写的是加速度转化为速度，速度转化为路程的过程。在几何学中微分就是求曲线的切线；而积分是求弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积。一般地讲，微分就是已知函数求函数的变化率；而积分是根据函数的变化率求函数。其二、两者所处的地位不同。在微分与积分这对矛盾中，一般地说微分是矛盾的主要方面，居于支配地位；积分是矛盾的次要方面，居于被支配地位。微分是积分运算的前提和基础。进行积分运算，首先要“化整为零”，进行无限分割，即微分。无微分就不可能进行积分。但是积分又不是消极被动的。在导函数向原函数转化过程中，最后是由积分来完成的。没有积分就无法完成这一转化。其三、各自的作用不同。微分是把整体分成无限多个无穷小量，完成以“直”代“曲”的转化；而积分又把无穷多的无限小量累积起来，实现以“以曲代直”。微积分的“曲”与“直”、“有限”与“无限”的相互转化正是在微分与积分的相互作用、相互制约下实现的。它推动微积分的基本矛盾――“直”与“曲”，“匀”与“不匀“的矛盾运动，解决了初等数学无法解决的矛盾。

参考文献：

［1］张楚迁《数学文化》高等教育科学出版社

［2］张顺燕《数学的源与流》《数学的美与理》

［3］邓东皋 孙小礼 《数学与文化》

［4］克莱茵 《古今数学思想》

［5］ 王树和《数学思想史》

［6］李文林《数学史概论》

微积分论文范文第4篇

【关键词】基本积分公式；凑微分；不定积分

计算不定积分的方法很多，凑微分法是比较重要而且常用的方法之一，深刻理解并熟练应用这种方法是学习后继微积分知识的基础.本文主要讨论其一般规律，并通过举例来说明如何凑微分.

一、凑微分法的理论依据

例1求∫2cos2xdx.

分析因为cos2x是复合函数，这个不定积分不能用直接积分法求出结果，但可以考虑套用公式∫cosxdx=sinx+C来计算.

∫2cos2xdx=∫cos2xd2x令2x=u1∫cosudu=sinu+C回代u=2x1sin2x+C.

验证积分结果的正确性：sin2x+C′=2cos2x，积分结果的导数等于被积函数，说明这种积分思路及过程是正确的.

解设u=2x，则du=2dx.

∫2cos2xdx=∫cos2xd2x=∫cosudu=sinu+C=sin2x+C.

解题特点引入新变量u=2x，把原被积表达式化成基本初等函数的微分形式cosudu，再用基本积分公式求出积分结果∫cosudu=sinu+C=sin2x+C.

这种求不定积分的方法具有一般性，其理论依据如下：

设y=F（u）及u=φ（x）都是可导函数，且F′（u）=f（u），则由y=F（u）和u=φ（x）构成的复合函数是y=F[φ（x）].

对函数y=F（u），dy=F′（u）du=f（u）du，

则∫f（u）du=F（u）+C；

对复合函数y=F[φ（x）]， dy=y′xdx=F′（u）u′xdx=f（u）φ′（x）du=f（u）du，即dy=f（u）du，

则∫f（u）du=F（u）+C.

由此可见，不论u是自变量还是中间变量，总有∫f（u）du=F（u）+C.于是得到结论：

如果∫f（x）dx=F（x）+C，而u是x的可导函数，那么∫f（u）du=F（u）+C.

即只要所给积分的被积表达式能凑成f[φ（x）]dφ（x），即f（u）du的形式，就可利用公式∫f（u）du=F（u）+C写出积分结果.

此结论表明：

在基本积分公式中，自变量换成任何可导函数u=φ（x）时，公式仍成立.这条性质叫做积分形式不变性.这个结论扩大了基本积分公式的使用范围.

例1中使用的方法，实质上是把微分形式不变性反过来用于不定积分而得到的求积分的方法，这种方法通常叫做第一类换元积分法，也叫凑微分法.

二、凑微分法的定义

一般地，若不定积分的被积表达式能写成

f[φ（x）]φ′（x）dx=f[φ（x）]d[φ（x）]，

令φ（x）=u，当积分∫f（u）du=F（u）+C时，则有下面的结论：

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）duu=φ（x） =∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C.

通常把这种积分方法称为第一类换元积分法，又叫凑微分法.

三、凑微分法的理解

在凑微分法的过程中，变量u在这里处于中间变量的地位，u是x的可导函数u=φ（x），因此这种方法的关键也可以说是正确选择中间变量u.在具体解题的过程中，要注意凑出来的新的积分∫f（u）du要能用直接法求出积分结果，否则就失去了换元的意义.

四、应用举例

1.凑微分法求解步骤

设∫f（u）du=F（u）+C，运用凑微分法做积分运算时首先将原积分形变为∫f[φ（x）]φ′（x）dx，再按下列步骤进行：

∫f[φ（x）]φ′（x）dx凑微分1∫f[φ（x）]dφ（x）变量代换1φ（x）=u

∫f（u）du计算积分1F（u）+C变量代换1u=φ（x）F[φ（x）]+C.

2.常用的凑微分形式

（1）dx=11ad（ax）=11ad（ax+b）；

微积分论文范文第5篇

1.中学微积分教学现状

微积分作为数学界的传统“三高”――微积分、高等代数、高等几何之一，一直是数学教学中的难点.而中学课程改革过程中，将微积分引入到了高中数学教学中，由于问题本身抽象性强，再加上中学生知识结构和理解能力的不足，导致许多教师只能照本宣科的介绍一下定义和简单的求导公式，学生们也无法了解微积分的用途，仅能够根据公式练习一些简单的初等函数求导，微积分的基本思想和解决问题的数学方法对很多同学来说根本无从谈起.那么，如何让中学生认识微积分――至少了解微积分的基本思想和方法，笔者有一些浅显的思路，拿出来与诸位教师和学者探讨.

2.微积分的发展和教法探讨

现代数学教学的一个非常突出的观点是“重新发现数学”.众所周知，微积分理论的产生是从积分微分极限理论，在解决具体问题的过程中首先产生了积分和微分的概念.牛顿和莱布尼茨的微积分被称为第一代微积分，最初的概念中一直没有解决无穷小到究竟是不是0的问题.在欧洲文艺复兴过程中，随着微积分应用导致越来越多的自然科学成果的出现，对神学的统治地位造成了很大的冲击.于是，教会代表们纷纷挖空心思去反对、抨击微积分，这也造成了历史上第二次数学危机的爆发.

英国大主教贝克莱就曾经攻击微积分理论，他的责难相当直接：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？牛顿在从平均速度的表达式中，让变成无穷小，得到物体的瞬时速度，推导中有逻辑性的毛病.平均速度表达式为

.

贝克莱说：如果“无穷小”是0，上式左端当和变成无穷小后分母为0，就没有意义了；如果“无穷小”不是0，上式右端的就不能任意去掉.在推导上式时，是假定了才能做除法，为什么又可以让而求得瞬时速度呢？因此，牛顿的这一套运算方法就如同从出发，两端同时除以0，得出一样荒谬.

这就是著名的“贝克莱悖论”.这个质问直接导致了第二次数学危机的爆发，险些导致微积分理论体系的崩溃.数学家们在经过将近200年的不断努力，到柯西创立极限理论，才较好的解决了这个问题，直至后来魏尔斯特拉斯创立“”语言，才彻底的反驳了贝克莱的责难.

柯西、拉格朗日和魏尔斯特拉斯的微积分被称为“第二代微积分”.他们的研究成果更加严密、科学性更强，大大完善了分析理论.但是，对于非数学专业的大学生甚至是数学知识相对匮乏、逻辑思维能力偏弱的中学生来说，无疑是一种天方夜谈，乃至很多大学生学完微积分之后，也并不明白极限的“”定义到底讲的是什么东西，更不论后面的导数、微分和积分概念了.

那么，有没有一种方法，能改进微积分的概念，让教师更容易教，学生更容易学呢？多年来，老一辈的数学家、教育家们做了很多尝试，也取得了一定的阶段性成果.无论是张景中院士的《直来直去的微积分》还是林群院士的《微积分快餐》、《“山寨”微积分》等等，都对微积分的基本概念提出了重大的改进，更加便于我们把微积分通俗易懂的传授给学生，甚至是数学功底较差的人群.

而关于微积分的基本思想，我们认为是一个用小直线代替长曲线的过程.积分求解问题的基本思路是下面的变换：

大曲线（面）小直线（平面）大曲线（面）.

这个思想并不是牛顿、莱布尼茨，甚至也不是笛卡尔等外国数学家提出来的，中国早在1700多年前，刘徽就通过割圆术将这种思想应用到解决求解圆的周长问题中，并取得了重大的成功，得到圆的周长是半径的倍.即使是很多中学数学很差的人也知道这个公式.

类似的，我们考虑圆的面积问题.很多人知道圆的周长公式但不知道面积公式，或者不知道这个公式是怎么来的.这其实是微积分思想的一个很精彩的应用，把这个思想应用到教学当中，能够让学生更直观的理解微积分的思想方法，掌握利用微元法解决问题的能力.学生们可能不知道圆的面积公式，但对三角形的面积公式是非常熟悉的：S三角形底边长×高.下面我们利用这个公式和微积分的思想来考虑圆的面积.

做圆的内接正边形，其面积相当于个等腰三角形的面积之和：

.

当趋近于无穷大时，内接正边形的周长趋近于圆的周长，每个小三角形的高趋近于圆的半径，从而有

.

这种思想正式微积分的基本思想.把一个大的曲边问题转化为很多小的直边问题，然后对单个小问题进行近似求解，再把所有小问题的结果进行求和、取极限.而且这个例子更加贴近中学生的知识结构，更便于他们接受.教学的同时也向学生阐述了一些数学的基本思想方法：化复杂为简单、化未知为已知.

用这种方法来介绍微积分，化整为零再求和，化曲线为直线的思路很清晰，中学生也能明白.或者用类似的技巧介绍长曲线如何利用微积分求高[3]，把积分的引入从二维的面积问题转化为一维的长度问题，浅显易懂.这些例子在教学中都取得了不错的效果.

3.结束语

对于中学的微积分教学，要根据学生知识能力和智力水平的特点，制订合理的教学模式和考核方法.正如“教学有法，教无定法”这句格言，只要我们积极地探索和实践，最终会通过提高教学质量，培养学生的数学素养和综合能力，提高学生的素质.而提高数学教学水平和质量是教师在教学实践中不断探索的课题，任重而道远.

参考文献

[1]张景中.直来直去的微积分[M].北京：科学出版社，2010.

[2]林群.微积分快餐[M].北京：科学出版社，2009.