反三角函数

前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇反三角函数范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

反三角函数范文第1篇

1. 忽视反三角函数的存在性

例1:求函数y=2sin(2x-■)-3(-■π≤x≤-■x)的反函数.

错解一:y=2sin(2x-■)-3, sin(2x-■)=■

2x-■=arcsin■,x=■arcsin■+■,则所求的反函数为y=■arcsin■+■.

错解二:由y=2sin(2x-■)-3解得x=■arcsin■+■,又-1≤■≤1,即-5≤y≤-1,则所求反函数是y=■arcsin■+■(-5≤x≤-1).

分析:错解一在没有讨论-■≤2x-■≤■是否正确的情况下,就得到2x-■=arcsin■,反映了对于记号“arcsin”的意义,即反正弦函数的定义理解不全面.同时,也没有求得已知函数的值域,使答案中不具所求反函数的定义域,反映了对于求一个函数就要求出它的三要素,特别是给出解析式和定义域(此时的值域也随之确定,实际上它就是已知函数的定义域)的概念,解题规格不完全清楚.

错解二犯有与错解一同样的第一个错误,虽然注意到并求出已知函数的值域,但运算依据不正确,不知道应该从已知函数的定义域和解析式去确定值域,而是无根据地默认■可以取足区间[-1,1]上的每一个值,与实际情况不相符,即使把解析式的正确结果求出来,整个反函数的答案仍有差错.

正确答案为:y=-■arcsin■-■π(-2≤x≤-1).

2. 忽视隐含因素

例2:设方程x2+3■x+4=0的两个实根为x1和x2,记α=arctgx1,β=arctgx2,求α+β.

错解:x1+x2=-3■,x■x■=4

tg(α+β)=■=■=■

又-■

-π

分析:已知条件中隐含着α

事实上,由x1+x2=-3■0,知x1

-■

-π

正确答案应为:α+β=-■.

3.忽视值域的有界性

例3:已知P(x,y)满足arcsinx+arccosy=π,求P点的轨迹方程.

错解:arcsinx=π-arccosy,

x=■≥0,即x2+y2=1(x≥0),

分析:在已知关系式里隐含着重-1≤y≤0,这是因为,若0

x2+y2=1(0≤x≤1,-1≤y≤0).

4.忽视变形的等价性

例4:若arccosx-arcsinx=■,求x.

错解:对原式两边同取余弦可得4·x■=■,两边平方得16x4-16x2+3=0,解得x2=■或x2=■,所以x=±■或x=±■.

分析:对已知式两边平方或对两边同取余弦(或正弦)时,都会扩大解集出现增根,这是因为,两角相等,这两角度同名三角函数值必相等,但反过来不成立,比如cos■=cos■=■,显然由此得不到■=■.

此题若利用arcsinx+arccosx=■(x≤1),则始终为同解变形,可避免增根.

解法如下:arcsinx=■-arccosx,

反三角函数范文第2篇

同时，在研究锐角三角函数的简单应用时，需要学生对图形结构相互关系进行观察和分析，对图形整体或部分进行必要的变换.有了前面的知识做铺垫，学生已经建立了各种解直角三角形的知识储备和一定的推理能力基础，有能力采用直观与理性相结合的方式学习本节内容.

一、教学实录

上课开始，屏幕上以动画形式播放一个气球在天空停留，一学生站在A点处观测气球，测得仰角为30°，然后他向着气球的方向前进了100m，此时小明再次观测气球，仰角为45°，若小明的眼睛离地面1.6m，小明如何计算气球的高度呢？（精确到0.1m）

教师与学生一起画出草图，将实际问题转化为数学模型，学生一起看图，逐一说出问题中的已知量与未知量.

师：要计算CD，可以利用RtCBE和RtCAE，先找出BE、CE与已知量的关系？

生：可以设CE长为xm，则在RtCBE中，由“等角对等边”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，然后在RtCAE中，利用tan30°=，算出x+1.6的值，即为旗杆的高度.

师：根据上述方程，大家以最快的速度解这个方程，不会的相互帮忙一下.

点评：以上的分析过程简洁明了，根据30°角的正切值列出方程也很容易理解，但是具体在解这个方程的过程中，学生却遇到了很大的麻烦。有很多学生不会解决此类方程，因为方程中x的系数带有根号，而且要先移项，再合并同类项，最后还要经历分母有理化的过程，分母有理化本身是书本上的选修内容，中间还渗透了平方差公式，对于一些对平方差公式不熟练的学生而言，这是解此类方程的一个难点.

教师边引导学生解方程的一般步骤，边引导学生找出分母的有理化因式，从而保证结果的最简，师生一起努力共同完成解答过程.

生：解：设CE长为xm，在RtCBE中，

∠CEB=90°，∠CBE=45°，

∠CBE=∠BCE=45°，

由“等角对等边”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，

在RtCAE中，∠CEA=90°，tan∠CAE=，

tan30°=，

即=

3x=100+x

（3-）x=100

x===50（+1）

CD=CE+DE=50（+1）+1.6≈138.2m.

教师点评：这一种方案是先在RtCBE中设未知数，再根据“边角关系”用的代数式表示BE，从而表示AE，最后在RtACE中利用tan30°的函数值列出方程，从而达到解决问题的目的.除了用以上方法解决问题外，同学们观察一下图形的特点，能否找出已知线段与未知线段之间存在的相等关系？

生：AE-BE=AB.

师：能否根据这一相等关系列方程呢？大家先独立研究，然后把自己的研究成果与同组同学交流.

学生开始探究，教师巡视.巡视过程中发现大部分同学能利用第一种方案中的两个直角三角形展开思维，也有的同学在“AE-BE=AB”的基础上重新设未知数，结果得出的方程与第一种方案一致.

师：请想出不同方案的同学把你的研究成果写在黑板上，其他小组进行补充.

全体同学一起努力，最后得到如下结果：

设CE=xm，在RtACE中，∠AEC=90°，

tan30°=，AE==x.

在RtCBE中，∠CEB=90°，tan45°=，BE==x，由AE-BE=AB可知，x-x=100，（-1）x=100，x===50（+1）.

教师总结：以上给出了两种方案，从解题的技巧和解题方法来看，第一种方案利用小RtBEC的边角关系设未知数，再由大RtAEC的边角关系列方程，由内而外地展开大家很容易理解，但是得出方程后解此方程有一定的困难.第二种方案由两个直角三角形同时进行，利用边角关系表示AE，BE，再根据“AE-BE=AB”直接列出方程，而且这个方程比第一种方案中的方程容易解，由此评价方案二比较可行，但是方案二中表示AE，BE时必须注意方式方法.

师：将问题中的特殊角改为27°与40°，其他数据不变，求气球的高度，选择一种你认为比较合适的方案，自己先试一试.

（在巡视的过程中，选两位用不同方法解答完成的学生上黑板板演.）

生甲：设CE=xm，

在RtBEC中，∠BEC=90°，tan40°=，BE==.

在RtAEC中，∠AEC=90°，tan27°=，AE==.

AE-BE=100，-=100.

tan40°x-tan27°x=100・tan27°・tan40°.

x=.

生乙：设CE=xm，

在RtBEC中，∠BEC=90°，

tan40°=，BE==.

在RtAEC中，∠AEC=90°，

tan27°=，tan27°=.

100・tan27°+=x.

100・tan27°・tan40°+tan27°・x=tan40°・x.

x=.

教师与学生一起点评，生甲的方案是建立在“AE-BE=100”的基础上进行的，方程比较简单，解题的过程简洁明了.生乙的方案是由内而外展开，由小RtBEC内的边角关系设未知数，由大RtAEC的边角关系列方程，所列方程稍微有点复杂，但是只要细心，照样可以解出答案.

师：大家有没有发现这两个直角三角形有着一条公共的边呢？

生：有，是线段CE.

师：能否根据公共边相等列方程呢？此时设哪条线段为未知数比较合适呢？

生：设BE=xm，则AE=（100+x）m，在RtBEC中，∠BEC=90°，tan40°=，CE=BE・tan40°=x・tan40°.

在RtAEC中，∠AEC=90°，

tan27°=，

CE=AE・tan27°=（100+x）・tan27°，

x・tan40°=（100+x）・tan27°.

解得x=.

CE=・tan40°=.

最后求出气球的高度即可.

教师总结：本节课我们主要研究了锐角三角函数的简单应用，学会了从各种不同的角度分析问题，抓住问题的突破口，步步逼近.今天我们一起探究了解决锐角三角函数的三种方案：方案一，由内而外，利用三角函数列方程求解；方案二，根据两线段之差等于已知线段列方程求解；方案三，抓住两个三角形的公共边列方程.这三种方案各有千秋，平时解题时我们要具体问题具体对待.

二、总评

反三角函数范文第3篇

【关键词】基本初等函数；乘积；不定积分；初等函数

【课题论文】湖北省教育科学“十二五”规划2011年立项课题（项目编号2011B266）

一、幂函数与指数函数乘积的不定积分

1。∫xnaxdx=ax∑ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。

二、幂函数与对数函数乘积的不定积分

2。∫xnlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。

三、幂函数与三角函数乘积的不定积分

3。∫xncosxdx=∑ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。

4。∫xnsinxdx=-∑ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。

四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分

5。∫xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx-∫xn+11-x2dx。

6。∫xnarccosxdx=1n+1xn+1arccosx+∫xn+11-x2dx。

其中：In+1=∫xn+11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n+1+nn+1In-1,…,

五、指数函数与对数函数乘积的不定积分

7。∫axlogbxdx=1lnbax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。

六、指数函数与三角函数乘积的不定积分

8。∫eaxcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。

9。∫eaxsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。

七、指数函数与反三角函数乘积的不定积分

10。∫axarcsinbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。

11。∫axarccosbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。

八、对数函数与三角函数乘积的不定积分

12。∫cosbxlnxdx=∑∞i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。

13。∫sinbxlnxdx=-∑∞i=01bi+1(cosbx)(i)(lnx)(i)+C。

九、对数函数与反三角函数乘积的不定积分

14。∫arcsinxlnxdx=(lnx-1)(xarcsinx+1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2+C。

15。∫arccosxlnxdx=(lnx-1)(xarccosx-1-x2)+ln1-1-x2x+1-x2+C。

十、三角函数与反三角函数乘积的不定积分

16。∫sinxarcsinxdx=-cosxarcsinx+∫cosx1-x2+C。

17。∫sinxarccosxdx=-cosxarccosx-∫cosx1-x2+C。

18。∫cosxarcsinxdx=sinxarcsinx-∫sinx1-x2+C。

19。∫cosxarccosxdx=sinxarccosx+∫sinx1-x2+C。

十一、幂函数与幂函数乘积的不定积分

20。∫xmxndx=1m+nxm+n+c(m+n≠-1),∫xmxndx=ln|x|+c(m+n=-1)。

十二、指数函数与指数函数乘积的不定积分

21。∫axbxdx=axbxlna+lnb+C。

十三、对数函数与对数函数乘积的不定积分

22。∫logaxlogbx=1lnalnb∫ln2xdx,

∫ln2xdx=xln2x-2∫lnxdx=xln2x-2xlnx+2x+C。

十四、三角函数与三角函数乘积的不定积分

23。∫sinxsinxdx=12∫（1-cos2x)dx=12x-14sin2x+C。

24。∫sinxcosxdx=12sin22x+c。

25。∫cosxcosxdx=12∫(1+cos2x)dx=12x+14sin2x+C。

十五、反三角函数与反三角函数乘积的不定积分

26。∫(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-2∫xarcsinx1-x2dx=x(arcsinx)2+2∫arcsinxd1-x2=x(arcsinx)2+21-x2?arcsinx-2x+C。

27。∫arcsinxarccosxdx=∫arccosxd(xarcsinx+1-x2)=arccosx(xarcsinx+1-x2)-∫xarcsinx+1-x21-x2dx=arccosx(xarcsinx+1-x2)-x+∫arcsinxd 1-x2=arccosx(xarcsinx+1-x2)+1-x2arcsinx-2x+C。

28。∫(arccosx)2dx=x(arccosx)2+2∫xarccosx1-x2dx=x(arccosx)2-2∫arccosxd1-x2=x(arccosx)2-21-x2arccosx+2x+C。

上面15种情况中：有11种情况（一、二、三、四、六、九、十一、十二、十三、十四、十五）的积分结果可以用初等函数表示出来，有4种情况（五、七、八、十）的积分结果不能用初等函数表示出来。

例 求∫x3(e-x+lnx+cosx)dx。

解 ∫x3(e-x+lnx+cosx)dx=e-x∑3i=0(-1)i(x3)(i)(-1)i+1+x44lnx-14+∑3i=0(x3)(i)(sinx)(i)=-e-x(x3+3x2+6x+6)+x44lnx-14+(x3-6x)sinx+(3x2-6)cosx+c。

【参考文献】

反三角函数范文第4篇

2014年11月26—27日，我校成功举办了省“教学新时空·名校课程”现场推进会暨江苏省海门中学第30届教学“百花奖”全国展示活动（江苏教育网进行了网络直播）。笔者有幸执教《三角函数的周期性》一课。三角函数的周期性作为三角函数的图像与性质的起始课，概念性强，本节课是笔者基于“给学生需要的数学概念课堂”的需求进行的一次实践和尝试。

一、课堂实录

1.创设情境

同学们，作为一个海门人，我们身处长江边，你有没有在长江边看过日出，今天老师请大家看一段长江边日出的视频。

下面是两个同学看完视频后的对话

甲：日出美吗？

乙：美。

甲：那我们去长江边看日出去？

乙：明天不行，我要上学。

甲：后天？

乙：不行，我要上学。

甲：没关系，日出天天可以看，等你放假后一起去？

乙：好的。

师：从两同学的对话中，你认为日出这一自然现象具有什么规律？

生：过了一定时间现象重复出现（定期重现），可用成语“周而复始”。

师：自然界和生活有许多“周而复始”的现象，我们的课前音乐《花心》的歌词中也有类似周而复始现象的描述，你发现了吗？

生：“春去春回来”“花谢花会再开”“黑夜又白昼”“潮起又潮落”。

师：很好，那我们最近研究的三角函数中有没有这种“周而复始”的现象？

生：有，三角函数线。

2.概念生成

那我们一起研究一下三角函数线的变化，以正弦线为例，利用几何画板演示正弦线的变化(如图1)。

师：正弦线的变化有什么特征？

图1每转过一圈，函数值就重复出现。

师：很好，如果用代数式表示？

生：sinx=sin(x+2π)=sin(x+4π)=。。。

师：上述等式成立与x的取值有关系吗？

生：没有。

师：如果我们记f(x)=sinx，那么上式就可以表示成f(x)=f(x+2π)=f(x+4π)=。。。

那么自变量x的取值范围是什么？

生：任意角。

师：很好，那么你能用语言表述一下吗？

生：自变量每增加2π，函数值不断重复出现。

师：非常棒，这是不是和我们刚才研究的“日出”的周而复始现象很像，那么是不是只有正弦函数具有这一特征？如果还有其他函数，那么它增加的量是多少？

生：余弦函数也有这一特征，也是自变量每增加2π，函数值不断重复出现。

师：还有么？

生：正切函数也有这一特征，不过增量为π。

师：三角函数具有的这种自变量每增加一定的量，函数值重复出现的性质称为三角函数的周期性。

板书课题：三角函数的周期性。

师：如果有一个函数，自变量每增加1，函数值就重复出现，你认为它是否具有周期性？

生：有周期性。

师：也就是说，定量并不一定是“2π,π”，那么对于这些一般函数的周期性我们如何用数学符号语言刻画？

沉默

师：大家可以讨论一下？

学生讨论，约2分钟后。

师：你们有结论么？

生：我们组的结论是“对于函数f(x)，如果存在常数T，使f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，常数T叫做周期函数的周期”。

师：很好，对这一小组的结论，大伙还有没有补充？

生：我们认为，应当是非零常数T。

师：理由？

生：若T为0，则自变量就没有增量。

师：非常好。还有么？

生：自变量x应为定义域内的任意值。

师：太棒了，这样我们就得到了周期函数的定义：“一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期”。

3.概念理解

师：请看问题

问题1填空：对于函数f(x)，如果定义域内的每一个x值，都满足，那么函数f(x)为函数。

生：我认为可以填 “f(x+T)=f(x)（T≠0）”；周期。

师：很好。还有其他答案么？

沉默，突然某学生提出。

生：我认为，根据以前学的奇偶性的定义，可以填“f(－x)=f(x)”；偶。

师：很好，函数的奇偶性和函数的周期性有些条件完全一样，我们可以类比学习。研究奇偶性时，我们要求函数的定义域关于原点对称，你知道为什么吗？

生：这是因为要使得x在定义域的同时，-x也要在定义域内。

师：非常好。那么你认为周期函数对定义域有什么要求？

生：x在定义域的同时，x+T也要在定义域内。

师：正确。

请看下一问题：

问题2函数y=sinx(0≤x≤10π)是不是周期函数？

生：不是，当x=10π时，10π+2π不在定义域内。

师：很好。看下一问题：

问题3判断下列说法是否正确，并简述理由。

（1）x=π3时，sin(x+2π3)≠sinx，则2π3一定不是函数y=sinx的周期；

（2）x=7π6时，sin(x+2π3)=sinx，则2π3一定是函数y=sinx的周期。

生：第一个正确，第二个不正确。判定一个常数不是周期函数的周期，举一个反例即可。

判定一个常数是周期函数的周期，要使定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)。

师：回答的很好，理由总结的不错。这两个问题主要是考察大家对定义中每一个值的理解。再看下一问题：

问题4判断下列函数是否为周期函数？

（1）f(x)=cos2x;（2）f(x)=x;（3）f(x)=1。

生：第一个是周期函数，2π是它的周期；

师：f(x)=x是不是周期函数？

生：我找不到它的周期，不知道是不是？

师：f(x)=x的图像是递增的一直线，自变量增加一定量，函数值也在增加。所以不是周期函数。由此可见：单调函数不是周期函数。

生：f(x)=1应该是的，但我发现有很多数都可以作为它的周期。

师：能不能说的更具体点？

生：所有非零常数都是它的周期。

师：很不错，常数函数是周期函数，且周期为非零常数。你认为正弦函数y=sinx的周期为多少？

生：2π,4π,。。。都是它的周期，应该是k·2π(k∈Z,k≠0)。

师：余弦函数y=cosx呢？正切函数呢？周期函数的周期是否唯一？

生：余弦函数周期k·2π(k∈Z,k≠0)，正切函数为kπ(k∈Z,k≠0)。周期函数的周期不唯一。

师：已知定义在R上周期函数f(x)的周期为T，则2T是f(x)的一个周期吗？你能推广么？

生：是，f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x)， kT(k∈Z,k≠0)也是它的周期。

师：由于周期函数有无数个周期，对我们的进一步研究带来不便，你能否选择一个最具有代表性的来表述？

生：正周期，最小的。

师：那我们统一一下，规定：“最小正周期：对于周期函数f(x)，如果在它的所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数f(x)的最小正周期”。

师：你知道：正弦函数的最小正周期为多少？余弦函数呢？ 正切函数呢？

生：2π，2π，π。

师：周期函数的最小正周期一定存在么？理由？

沉默

师：那大家讨论一下。

生：我们组认为，最小正周期不一定存在，如y=sinx(x≤0)没有正周期，当然也就没有最小正周期。

师：很好，这是从有没有正周期的角度进行否定。那如果一个周期函数有正周期，是不是有最小正周期？

生：我们认为，还是不一定存在，反例是常数函数f(x)=1，就没有最小正周期。

师：非常棒。周期函数的最小正周期不一定存在，我们的定义“如果……，那么……”

从现在开始，我们研究的周期没有特别说明就是指函数的最小正周期。

4.概念运用

师：请看问题：求函数f(x)=cos2x的周期。

师：你认为我们可以用什么知识求函数周期？

生：周期函数的定义。

板演：解：设f(x)的周期为T，则f(x+T)=f(x)，即cos2(x+T)=cos2x对任意实数x都成立。

cos(2x+2T)=cos2x对任意实数x都成立。

师：下面怎么办？还能用什么知识？

生：y=cosx最小正周期为2π这一结论。

师：怎么用？

生：把2x看成一个整体，

令u=2x，cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立。

又y=cosu的周期为2π，

所以使得cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立的最小正值为2π,

所以2T=2π,即T=π。

所以函数f(x)=cos2x的周期为π。

师：利用了周期函数的定义，结合y=cosx最小正周期为2π这一结论，采用整体的观点研究，非常棒。

师：你能快速的求出下列函数的周期么？（1）f(x)=2cos2x;（2）f(x)=cos(2x+π3)。

生：它们的周期为π。

师：你认为函数f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω>0)的周期和哪些元素有关？

生：只和ω有关，和A,φ都没有关系。

师：不错，那函数f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω>0)的周期是。

生：2πω。

师：那函数f(x)=Asin(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω>0)的周期是多少？

生：也是2πω。

师：那如果函数f(x)=Asin(ωx+φ)的ω<0呢？

生：2π－ω。

师：函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω≠0)的周期为2π|ω|。

这可以作为公式用来求正余弦函数的周期。

师：我们再拓展一下：若函数y=f(x)的周期为T，则函数y=Af(ωx+φ)（A≠0,ω≠0）的周期为多少？

生：T|ω|。

师：求三角函数的周期有哪些方法？

生：利用定义求解，也可以用公式求解。

5.概念拓展

师：很好，从数的角度我们有两种策略，那么形的角度呢？你认为周期函数的图像具有什么特征？

生：应该也不断重复。

师：非常好。你能不能根据图2中函数f(x)=cos2x的图像求出它的周期？

图2

生：只需看间隔多久即可，应该是π。

师：太棒了，这说明我们还可以利用图像求出函数的周期。

6.课堂小结

师：请你用几个关键词谈谈本节课的收获？

生1：周期函数、最小正周期。

生2：如何求函数的周期。

师：大家说的都非常好，老师也总结了几个关键词概括“定义、公式、思想、方法”，请大家认真体会。

下课。

二、执教感悟

笔者认为我们教学的对象是学生，因此数学概念课应从学生的需要出发，创设学生需要的概念课堂。

1.给学生需要的概念引入

概念引入的目的是让学生觉得数学概念不是凭空产生的，它来源于现实生活，具有广泛性，我们有研究概念的必要性。因此在教学设计时，要从学生的实际出发，选择符合学生熟悉的实例（或旧知）引入，从实例中提炼概念，让学生自然的接受概念，意识到研究概念的必要性。本节课选择日出引入，其实也可以选择课程表、钟表等其他实例引入，给学生需要的概念引入。

2.给学生需要的概念生成

学生需要什么样的概念生成？这就回归到另一个问题，我们的概念课为什么需要概念生成这一环节？概念生成的目的是通过概念生成过程培养学生能力的发展。因此笔者认为概念生成应由学生自主完成，如果是自然式生成，需要大量的时间投入，这是我们课堂不允许的，那么我们可以通过教学设计，让学生在我们预设下自主生成、发展。我们在教学设计中要依据认知的需要，从特殊到一般，从具体到抽象，层层深入，设计问题。通过问题串逐步推进学生思维的发展，让学生在自然而然学习中完成概念生成。

3.给学生需要的概念理解过程

数学概念是高度概括的，往往具有一定的抽象性。因此数学概念课应给学生需要的概念理解过程。那么学生需要什么样的概念理解过程？笔者认为采用什么方式很重要，这一环节我们可以设计一些小题，用小题带概念，强化概念。我们的小题应基于概念，可以是概念辨析，也可以概念运用，通过小题逐字逐句敲打概念，让学生自然而然的理解概念。

4.给学生需要的概念学习方法及数学思想

与知识相比，概念学习的方法更重要。因此数学概念课堂还因给学生需要的概念学习方法。让学生领悟从特殊到一般的归纳推理、特殊到特殊的类比推理、从一般到特殊的演绎推理；掌握独立思考、自主探究，不断反思、归纳、概括，大胆表述的学习方式；同伴互助、小组交流的合作研究模式。本课中对函数奇偶性的回顾，目的就是让学生将奇偶性和周期性类比学习，加深对概念的理解。数学概念的学习要注重方法的养成，数学思想的渗透。

5.给学生需要的数学知识

我们的数学课堂时间有限，学生的认知水平，决定了对某些数学知识只能搁置，而给学生需要的数学知识。鉴于高中数学对函数周期性的要求，主要围绕三角函数的周期性展开，因此本节课中对周期函数的定义的拓展，周期函数的某些性质没有过多深入。

总之，我们的概念课堂要从学生的实际需要出发，给学生于自然的概念引入，自由的概念生成，自主的概念探究，自在的学习过程，这正是李善良老师所强调的“教自然的数学，建自由的课堂”。

三、名师观察

在评课过程中，省数学教研员李善良博士及特级教师石鑫等作了点评，现摘录部分如下：

1.概念的引入自然

一节课的引入做的好不好，往往决定一节课的成败。作为是概念课的引入应当解决几个问题，学什么？为什么学？怎么让学生自然的学？本节课利用日出这一自然现象引入，贴近学生的生活实际，结合两学生的对话，引导学生对日出这一自然现象的规律的探究，结合课前音乐《花心》，进一步让学生感受周期现象的广泛性，激发学生研究周期的欲望，比较完善解决了概念引入的三个问题。

2.概念生成过程自然

概念生成过程是学生能力提升的过程，也是培养学生学习兴趣的过程。这一过程要舍得，要流畅。本节课在这块做足文章，通过问题链，从三角函数线到正弦函数的周期，拓展到三角函数的周期，再延伸到一般函数的周期定义，再从周期函数的定义到最小正周期的概念，层层深入，逐步推进学生思维的发展，学生在不知不觉中完成了概念生成，过程自然流畅。

3.概念理解过程自然

概念理解过程是进一步认识概念的环节，可以采用让学生研读概念和做题两种方式，本节课处理这一问题的方式是小题强化。通过几个小题，辨析、强化周期函数的定义中“非零常数T”“定义域内的每一个自变量x”“ 恒等式f(x+T)=f(x)”。最小正周期概念“如果…,那么…”。逐字逐句敲打概念，让学生自然的理解概念，起到很好的效果。

反三角函数范文第5篇

关键词：联系；新课；旧课

在以往的高中数学教学中我们发现，常常学生获得的知识不容易得到巩固，到了高三年级的时候，学生一方面要学习新的内容，一方面还要系统地复习旧知识，因此很是困难. 鉴于这样的情况，高中数学教师应该采取怎样的教学方式呢？在授予新课的同时应该怎样复习旧的知识点呢？本文就高三数学新课中对旧课的复习，提出几点合理化的建议.

找出本课或本单元与后面教材的联系

教师在讲课时，要善于找出本课或者本单元的教学内容与后面教材之间的联系，为以后的新课打下基础，使以后的新课易于进行. 例如，在立体几何中讲三面角时，布置“从三面角中相等的面角所夹的二面角的棱上一点向相对的面作垂线，则垂足必定在第三个面角的平分线上”的例题或者作业，使得以后棱锥的计算易于进行；在讲到棱锥、棱台的概念时，指出棱锥中的三个直角三角形、棱台中的三个直角梯形，为以后的计算打下基础；讲圆柱、圆锥侧面积定义时，突出圆柱侧面积定义，则圆锥侧面积定义、圆柱圆锥体积的定义、球和它的部分的面积与体积的定义就不难理解了，突出了大圆定理，还可以为将来在大学学球面三角及航海术、天文学打下基础.其例子很多，不必一一列举. 总之，如果在讲授旧课时突出重点，那么以后进行的新课复习就能顺利进行，但是突出重点不能堆砌教材，超出大纲的规定要求，以免给学生造成一定的负担.

找出新课与旧课之间的联系

复习旧课也可以在讲了新课之后进行，找到新课与哪些旧课有相类似的地方，引导学生作出对比与类比，使新知识得到巩固，并且系统化，学生容易掌握. 如立体几何中，“三面角的任意两个面角的和大于第三个面角”可与三角形中“任意两边之和大于第三边”进行对比；三面角的相等与三角形的全等进行对比，因为两个三面角中对应两个面角；“同他们所夹的二面角相等，则两个三面角相等”，等同于“两个三角形中对应的两边和一个夹角相等，则两个三角形全等”，但是必须指出次序的关系；长方体体积的求法可与矩形面积的求法对比，因为都是以整数的乘积作为基础，推广到分数的乘积、无理数的乘积；棱柱、圆柱求侧面积、求体积的公式可以类比，因为前者是底面周长与高的乘积，后者是底面积与高的乘积；棱锥、圆锥求体积的公式可以类比，因为都是底面积与高相乘积的三分之一；棱台、球台求体积的公式可以类比，因为都是三个椎体体积的和. 在三角形中，解斜三角形的讨论可与平面几何已知两边一对角作三角形的讨论对比；三角方程的增根问题可以与代数方程的增根问题对比. 在代数中，排列与组合可以进行对比；复数除法与有理化分母类比；解不等式与解方程对比；不等式的证明与恒等式的证明对比. 这样做了之后，学生对新学的知识认识就比较深刻，也易于识记. 但是要注意共性与特性，要分出相似与相同的地方，不能混淆.

在复习课上总结新旧知识的联系

高中数学是一门比较系统的学科，每学完一个单元之后教师一定要进行单元总结，整理所学的知识，分析特点和概括方法，以达到提高的作用. 如果方法不止一种，可以在讲了几个方法之后复习这些方法的特点，告之学生哪类问题应该用哪种方法解答，然后再进行新的方法的讲解. 这样一来，学生就不会学得多而不知如何用. 当学生学习较难的单元时，可以在告一段落的地方进行复习，发现问题，及时解决.

例如，讲了排列组合之后，可以进行复习；讲了二项式定理之后，除了复项式定理之外，还要复习排列与组合. 由于不断的复习加强了学生的理解与记忆，使得知识得到了巩固. 在复习时，还应该有计划地布置作业，使其逐渐深入，起到层层加深的作用.

遵循大纲，钻研教材

在授予新课之前，教师应该钻研教材，找出新课与旧课的联系，在复习旧知识的时候，逐渐加入新课的因素，用化整为零的方法来分散本课的难点. 这样一来，教师在讲的时候不会感觉到费力，学生在听的时候也不会感觉到难懂.

例如，在讲立体几何棱台体积的求法时，不要先讲定理，只说出本课的目的要求即可. 教师可以先拿出一个棱台的模型，问学生：“棱台的定义是什么？”学生回答：“棱锥被平行于地面的平面所截，截面同原棱锥地面之间的多面体就叫做棱台.” 教师再问：“延长棱台的所有侧棱会有什么样的结果呢？”“他们会相交于一点，然后变成两个棱锥”，紧接着教师提问：“棱锥的体积怎么计算？”棱锥是大家熟悉的，棱锥的体积等于其底面积与高相乘的三分之一. 求出棱锥的体积之后，此时教师才发问：“那么，棱台的体积能否由棱锥的体积求得呢？”显然，此时棱台的体积是等于两个棱锥的体积之差，这样就可以顺其自然的引入新课：棱台体积的求法.

在高中数学教学中我们发现：讲三角形的边角关系补助定理时，复习平面几何的“同弧内的弓角相等”；在讲“圆内接四边形的对角互补”时，可以复习直角三角形的解法；讲到“余弦定理”时，可以复习平面几何的勾股定理的推断；讲到反三角函数之前，教师可以系统地复习“角的概念、三角函数的概念、任意角的三角函数化成锐角的三角函数的求法”，使学生能够理解反三角函数的均值性，并掌握反三角函数主值的求法；在讲三角方程之前，可以复习“三角函数与反三角函数的关系”，使学生对已知的三角函数值求角的普遍值的方法能透彻理解并且牢固地掌握.

此外，在代数中，讲到复数的几何表示法时，教师可以复习“各个象限的角的三角函数的性质”同“三角函数的周期性”；讲二次三项式之前，系统地复习“二次三项式因式分解”，“二次函数的图象及其性质”. 总之，只要我们在备课时注意到教材的系统性，每一节课都可以找到复习旧课的机会.

在新课中复习旧课，复习的方法应有所不同. 若新课与旧知识联系的地方不太多，就可以在进行新课讲解时复习与新课有联系的各部分. 若新课所需要的旧知识较多，讲过的时间相隔又是比较久的，就可以在讲新课以前用几个课时来进行复习.

例如，讲反三角函数之前，用几节课对角的概念和三角函数的概念进行系统复习；讲二次三项式之前，用几节课对二次三项式的因式分解同二次函数的图形进行系统复习. 系统复习时，首先对关键问题重点讲解；然后布置复习提纲，指定复习顺序与范围，使学生在复习时能抓住重点；最后进行依次提问，分段作出结论，使学生对旧知识能深刻地理解，系统地掌握；再布置作业，进行知识点的巩固. 这样做了之后，学生不再感觉学习新课有困难，因而增加了学习的兴趣.

这样做的目的，不仅仅能使旧知识屡次重复出现，起到巩固的作用，而且能使学生知道新知识从何而来，对新知识也比较容易理解，也能逐渐培养学生的理解能力. 因此，在复习旧知识时，必须与本单元或者本章节有所关联，才不会打乱学科的系统性.

了解学生知识掌握情况

要复习的好，教师还必须了解学生的情况，如对旧知识的掌握情况、学习态度、学习方法是否正确等等. 至于了解学生的途径，教师可以从课外作业、复习提问、课代表的反映、个别询问、课外辅导作业等多方面进行. 遇到有不重视复习旧课、学习态度不端正的学生，必须进行教育，使其在思想上得到纠正，才能收到复习的效果.

总之，复习旧课是保证牢固掌握知识的最好方法之一，因为经常使旧知识在学生记忆中重复出现，不但可以使得旧知识得到巩固，还可以使它得到发展.同时，把已经获得的知识整理成为一个系统，这些知识就犹如钉的牢牢的钉子，永远不会消失，运用起来也灵活自如. 要做到这一点也不是非常困难，只要教师是有意识地、有计划地处理教材，在高中三年级的教学中，进行新课的同时，就可以使旧知识得到全部的复习.