椭圆形面积计算公式范文第1篇

风电钢制塔架是风力发电机组中重要大部件，其重量从数十吨到数百吨，在经济上，其成本约占机组总成本的15%～20%。因此塔架重量对于整机制造厂家和客户都是敏感的关注点，这就要求设计人员能够快速准确地得出重量数据。目前，最常见的钢制塔架是圆锥体薄壁结构，对于没有开孔的筒节，其重量可以利用锥体公式计算，但是对于带有电缆孔、门洞等开孔的筒节，其重量就不适用标准公式计算。这种情况下，设计人员一般通过三维建模获得，相比公式计算，效率有所降低。本文通过分析锥体上的开孔特征，建立二重积分表达式求解开孔部分去除材料的体积及重量，利用MathCAD求解，以便进一步快速准确地计算开孔所在筒节重量。

一、塔架筒节开孔特征

塔架筒节上的开孔，主要有两种用途，一种是作为门洞开孔，一种是因为穿电缆、通风管道开孔，在结构形式上其映射多为沿高度方向的长圆孔结构，即半椭圆（或半圆）+矩形+半椭圆（或半圆），如图1所示。开孔可能发生在圆柱体薄壁筒节上或圆锥体薄壁筒节上。

二、建立积分表达式

考虑圆柱体可以视为圆锥体的特殊形式，本文以圆锥体薄壁筒节上的门洞为例，取开孔区域去除体积进行分析，去除体积如图2所示。去除体积特征为以锥面S 为上下表面，厚度为t ，其在Y Z 平面上投影区域为D 。D 为半椭圆区域D 1、矩形区域D 2和半椭圆区域D 3组成，如图3所示。从而去除体积V 可以认为是以上表面S 为顶、D 为底的柱体V 1减去以下表面S 为顶、D 为底的柱体V 2，即V =V 1-V 2。因为V 的上下表面是平行的，故此处上下表面均用S 表示。

根据二重积分的几何意义，可知V 1=∫∫Df （y，z）d ，其中f （y ，z ）即锥面S 的表达式。对于顶点在坐标原点、旋转轴为z 轴、半顶角为β 的圆锥面方程为： ，则f （y ，z ）= ，其中cot（β ）。

体积V 在YZ 平面上投影D ，分区如图3所示。

注意：因为以圆锥顶点作为坐标原点，那么以筒节底端中心作为参考点时，该点的Z 向尺寸。并设门洞宽度为w ，椭圆半长轴为a ，门洞矩形部分高度为h ，门洞下端距离筒节下端的距离为p。

表达式中的D 1区域：-w /2

根据椭圆公式，推出半椭圆Z 向分量的表达式为：

。

于是式（1）中第一项等于：

（2）

表达式中的D 2区域：-w /2

于是式（1）中第二项等于：

（3）

表达式中的D 3区域：-w /2

曲线。

半椭圆Z 向分量n 的表达式为：

。

于是式（1）中第三项等于：

（4）

（5）

对于以下表面S 为顶，D 为底的柱体V 2，算法同上。同理：

（6）

考虑壁厚t ，相当于V 2对应底端直径缩小，此时以此底端中心作为参考点时，该点的Z 向尺寸： 。

于是，V 2=

（7）

其中， ， b = w / 2 ，C 3 _ 1 =d _ 1 +h ，C 4 _ 1 = 0 ；d _ 1 =H _ 1 -p -h -a ；

，其中。

此时， 上述积分表达式（ 5 ） 、（ 7 ） 就可以利用MathCAD进行计算了。

三、MathCAD计算

MathCAD通常称为“数学CAD”，具有操作简单、易学好用、过程可见及计算功能强大的优点。

菜单栏区和工具栏区与Of f i ce软件相似，如图4所示，即使新用户也可以很快上手。

点开第四排工具栏中的图标，可以打开对应的更多工具对象，例如点击，可以打开常用计算对象，如图5。点击，可以打开希腊字母表，如图6。在界面中内置希腊字母表，也是MathCAD的特色之一，在书写公式中希腊字母时，不需要再借助输入法或者方式进行转换，这是一项很人性化的设计，要知道如果在专注于书写公式时，还不得不经常停下来切换输入法的设置，会打断思路，容易使用户烦躁。

工作区近似白板，如图7，允许在工作区中描述、集成数学公式、数字、文本和图表。用户可以在上面直接输入，而且可以在任意的地方插入文字注解，且与专有的计算工具和电子表格不同，Math CAD可以让用户直接使用自然数学语言来进行工作。

例如， 在EXCEL 中， 在某单元格输入一个等式：“=C1*SQRT（A1*A1+B1*B1）”，A1、B1、C1是Excel中的单元格，存放x 、y 和α 。而在Math CAD中，输入同样的等式就如同书写公式的惯用样式： 。

这种近似板书的设计方式和即输即得的强大计算功能，使得用户专注于对问题的思考而不是繁琐的求解步骤。Math CAD不仅适用于大中专院校教师、学生，也非常适合各类工程技术人员用于在解决实际数学问题时，进行学习参考或者验证建立的数学模型。

为了验证上述开孔去除体积积分表达式的正确性及精度，将式（5）、式（7）及相关参数输入MathCAD进行计算。如上所述，MathCAD参数输入和积分表达式输入等过程，均似板书型式，如图8所示局部截图，完整过程此处不再赘述。

为了验证积分表达式的正确性以及结果的准确性，利用NX软件进行实体建模，通过NX实体重量查询工具，得出去除体积部分重量，与MathCAD计算结果比较如表所示。

表统计了角度α 从85°到89.99°变化时，对应的筒节门洞去除体积部分的重量。通过比较，证明了建立的积分表达式是正确的，其结果与三维实体重量基本一致。其中α =89.99°时，用于模拟开孔所在筒节为薄壁圆柱体，其计算精度与图9所示α =90°时，即三维实体为圆柱薄壁时相比也基本一致。

椭圆形面积计算公式范文第2篇

故我把整节课的教学设计如下：

教学目标

（1）知识与技能目标：

利用祖暅原理，知道球体积公式的一种推导方法，并应用其求椭球体积；

（2）过程与方法目标：

通过对球体积公式的探求，体验数学发现和创造的历程，学会观察、类比、归纳、猜想等合理推理方法，培养学生分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力；

（3）情感、态度与价值观目标：

通过师生互动、生生互动共同探究的教学活动，形成学生的体验性认识，培养学生勇于探索的个性品质。

教学重点和难点

利用祖暅原理探求球体积公式。

教学过程设计

（一）

1.复暅原理及棱柱、圆柱体体积公式；

约在公元5世纪，我国数学家祖暅在研究“开立圆术”中指出“夫叠綦成立积，缘幂势既同，则积不容异”。其意思是：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等。这一论述被后人称为祖暅原理。

设计意图：数学史与数学文化融入数学教育，使数学史中的思想方法为数学教育服务。

用祖暅原理可证明：

两个等底等高的棱（圆）柱的体积相等。（图1）

2.复习棱锥、圆锥体体积公式

用祖暅原理可证明：

两个等底等高的棱（圆）锥的体积相等。（图2）

（二）新课导入

1.复习球体积公式 ，直接抛出问题：课本中已介绍过应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法。如何根据课本提示，由祖暅原理和圆柱、圆锥体的体积公式去推导球体积公式？

设计意图：开门见山地告知学生今天的学习任务，但问题较大，学生的个体差异会使部分学生找不到思考的切入点，故我设计将任务细化，在教师的指导下让学生进行探究。

2.将问题分解：

（1）选择的圆柱（锥）体与对应的球之间应有那些对应关系？

设计意图：探求圆柱（锥）体的半径与高和球体半径的等量关系，并根据对称性作出选择研究半个球的体积公式。

（2）仅选择圆柱体（或圆锥体）与对应的半球，用平行截面去截，截面之间能否保证祖暅原理中“在任意等高处的截面面积都对应相等”的要求？

设计意图：本节课的重点是“用祖暅原理为依据进行探求”，所以抓住“用平行截面去截”的关键，探求发现圆柱体在等高处的截面（除底面外）大于半球体，而圆锥体在等高处的截面（除底面外）小于半球体，大胆猜测进行大小间的“协调”。

（3）如何利用割补法探求半球体积公式？（在这个问题的教学组织上，采用让学生分组协作的合作学习方式进行）

设计意图：探求圆柱体与圆锥体在等高处的截面进行大小间的“协调”的过程，蕴涵着猜测和尝试的双过程，结论的得出必定是完成了严格的证明。

探求结果用祖暅原理求球体体积公式的做法是：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球体积公式。

说明：这里教师设计了一个容易激疑的问题情境，给学生思维以方向和动力；三个由浅入深的问题引起学生深入的思考，并且能促使学生“发现问题，作出思考，提出猜想，进行验证”等探究性的学习活动，并教给学生探究性学习的方法。这样设计探究学习活动，是为了更有利于学生主体性的发挥。在亲历学习过程的探究活动中丰富经历，强调合作，促进了学生在思维品质、人格特征以及解题方法等方面的优势互补，使学生兴趣盎然地投入探究新知的学习活动中。

3.得出球体积公式

4.反思小结、提炼数学思想：

（1）在该问题的解决过程中，我们是怎样入手的？为什么要这样设计？（依据祖暅原理）

（2）在探求过程中我们主要运用了什么方法？？（割补法）

（3）我们概括出怎样的一般性的结论？（球体积公式

）

（4）在探究过程中运用了哪些数学思想方法？（尝试、猜测、论证）

（三）应用

请在研究和理解球体积公式推导的基础上，解决以下问题：

已知椭圆 ，将此椭圆绕 轴旋转一周后，得一橄榄状的椭球体（图2），其体积等于______________.

设计意图：本问题的提出是球体积公式推导的类比迁移和引申拓广。在题目设计上选择了具体数据（椭圆的长轴、短轴已知）的椭球，使学生能经过自己的主动探索、实验，得到结论，这是对学生主动参与精神的激励。能使学生感悟到“面对新问题，联想旧知识，寻找新旧知识之间的关系，揭示知识规律，获取新知”的探究方法和策略，增强学生学习的动力和信心，使他们更自觉更主动地投入到探究性学习活动中去。

（四）小结：

通过本节课学习，我们利用割补法及祖暅原理得到了球的体积公式，并初步体会了其应用；进而收获了一个特殊椭球体的体积计算方法，又一次体会了联想、类比、猜测、证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用。

（五）作业：

请在研究和理解球体积公式推导的基础上，解答下问题：

（1）已知椭圆 ，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的椭球体，探求其体积。

（2）将此椭圆绕x轴旋转一周后，得一橄榄状的椭球体，探求其体积。

作业设计意图：本问题的提出是继具体椭球体积计算后的再次拓广。在题目设计上选择了更具一般性（椭圆的长轴、短轴为a，b）的椭球，让学生对课堂上的探究延续到课后，达成进一步的反馈和巩固。

（六）课后反思：

椭圆形面积计算公式范文第3篇

（1）  编码 用户首先对信息m进行分组，使其成为有限域上的明文信息块 m。     然后将 m经编码嵌入到椭圆曲线上的点  pm。这种编码不同于加密，任何一个合法用户都可以解码恢复明文。记分组数为 num，约定 0≤num<[p／256]一1，要找到这样的x，使之满足256m< x <256(m+1)，且 为 gf(p)上的平方剩余。若找到这样的x，就完成了明文信息的编码阶段。 （2） 发送密文     用户a对经过分组与编码的信息进行加密计算，并发送如下点对给用户b： = （3）接受密文并解密     用户b接受到密文，可使用kb  作如下解密运算，恢复出pm.x。由点积运算的性质，可得：

（4） 解码     得到p 后，去掉点p 的z坐标的最低一个字节，即将pm.x除以256后取整 ，即可得到明文分组m, 也即： 。 2.4 基于以上理论，设计了一个安全的pki数据传输模型如图所示[2]： 发送方示意图

用户a向用户b发送数据过程：

    1）  用户a随机产生对称加密算法密钥，通过对称加密函数对明文进行加密生成密文(a)；其密钥通过非对称加密函数进行加密而生成加密的对称加密密钥(b)。     2）  用户a随机选取散列算法生成散列函数，通过散列函数对明文散列生成数据摘要(c)。     3）  用户a通过证书库得到自己的私钥和用户b的公钥。     4）  用用户b的公钥结合非对称加密函数对用户a的对称加密密钥进行加密(d,e)；对用户a的数据摘要进行加密(g)。     5）  用用户a的私钥结合非对称加密函数对数据摘要进行数字签名(f)。     6）  通过对密文、加密的对称加密密钥、加密的数据摘要和数字签名进行打包发送给用户b。 接收方示意图

用户b接收处理数据过程：     1）  用户b接收到从用户a传来的数据包并打开它。     2）  用户b通过证书库得到自己的私钥(a)，并通过非对称解密函数对已加密的对称加密密钥进行解密，还原对称解密密钥(b)。     3）  通过对称解密密钥对密文进行解密生成明文( c )。     4）  用散列算法对明文进行散列生成数据摘要1 ( d )     5）  用用户b自己的私钥通过非对称解密密钥对加密数据摘要进行解密，生成数据摘要2 (e )。     6）  用用户b自己的私钥通过非对称解密密钥对数字签名进行解密，生成数据摘要3 (f)。     7）  比较数据摘要1、2、3是否一致，一致则数据完整，否则数据已被篡改。 3 基于pki模型的ecc加密算法     如上文所述，pki系统确保通信安全所依赖的是加密算法，其中最要的是非对称加密算法，因此，这个模型的核心就是ecc。ecc的关键问题是如何高效快速的实现ecc算法。提高ecc的效率一直是椭圆曲线密码研究中的一个重要内容。本文在这方面进行了一些探索和尝试。 3.1 椭圆的选取    

 椭圆曲线指的是由weierstrass方程[3]:所确定的曲线，在密码学中，人们关心的是一种受限形式的椭圆曲线，本文讨论的椭圆曲线的点积算法就是基于有限域 的。     设k为有限域 ，取k上的椭圆曲线为e: ,其中x,y,a,b∈k,b≠0,则e上的加法运算定义如下：    设p，q∈e。p，q≠o(o为无穷远点)， ； ，则p的逆元 ，且 。    若q≠ ，q≠p，则 ，其中 ;  ;        若 , p≠q, 则 其中   ;  ;        特别的，对任意p∈e,p+q=p,对实数0,0p=o, 则np=p+p+p…..+p 。 也就是椭圆点p自身加n次。[4] 3.2  椭圆曲线的算法与效率分析     第一种解法：     参考文献[4]给出了计算 p的最基本算法：“加-减”(addition-subtraction)算法j，它是“加-与-倍加”(add-and-double)算法的改进，无需预处理。在仿射坐标模式下，对给定的整数，设p为椭圆曲线 e上的一个随机点，b(n )为给定的任意大正整数的二进制序列，显然n和b(n )可分别表示成如下形式[5]：                  (1)     其中， ai∈{0,1},i=0,1,…t-1 于是根据点积定义，np可写成    (2)     input:大正整数n和椭圆点p     output:q=np     ①     ②

    ③for i form k-2 downto 0 do                        else             ④        效率分析：该算法要进行8/31og2n次乘法和4/31og2n次求逆运算，在射影坐标模式下要8/31og2n次乘法。       第二种解法：     对naf做了改进[6]，使得b(n)序列中任3个(或以上)的连续元素中至少有一个为0，再通过对 做预计算来提高运算效率。             ① (预先做倍点运算)     ②set q=0,i=0;     ③for i from k-1 to 0    

椭圆形面积计算公式范文第4篇

关键词：高中数学；直线与椭圆；交点分析；位置关系

G633.6

一、椭圆的基本介绍

1.椭圆的定义

平面内的点与两个定点距离之和等于常数，该常数大于两定点之间的距离，这样的常数形成的点的轨迹叫做椭圆。而这两个定点叫做椭圆的焦点，其之间的距离叫做椭圆的焦距。

2.椭圆的标准方程式

共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，（a>b>0）； 当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，（a>b>0）；其中a^2-c^2=b^2。

3.椭圆的几何性质

关于椭圆的一些几何性质，有几个方面。当焦点在X轴时 -a≤x≤a，-b≤y≤b，当焦点在Y轴时 -b≤x≤b，-a≤y≤a；椭圆的对称性，其对称中心其实就是椭圆的中心；椭圆的顶点，就是椭圆对称轴的四个交点；长轴与短轴，指的就是对称轴上两对顶点之间的线段；椭圆的离心率，指的是焦距与长轴之比，记作e，范围在0和1之间，e越接近于1，椭圆就越扁，反之越圆。

二、直线和椭圆的交点问题

直线和椭圆可以是没有交点、一个交点或两个交点，其分别体现的是直线与椭圆的相离、相切和相交。当直线和椭圆相离时，两者之间没有交点；当直线和椭圆相切时，存在一个交点，就是切点；当直线和椭圆相交时，会有两个交点，那么我们如何才能判定直线和椭圆的位置关系呢。

在探索直线和椭圆的位置问题时，主要是靠研究两者之间的交点个数进行判断，因此可以用代数的方法联立方程组求解，从而进行判定。首先，把直线方程和椭圆方程联立为方程组。其次，消去y或x得到一元二次方程。最后，计算=b^2-4ac，当>0，即表示直线和椭圆相交；当=0，直线和椭圆相离；当

三、直线和椭圆交点问题的基本运算

直线和椭圆之间涉及到很多考点，要解决两者之间的问题无非是要注意这几个方面：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在；（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程；（4）一元二次方程的判别式；（5）韦达定理，同类坐标变换；（6）同点纵横坐标变换；（7）x，y，k（斜率）的取值范围；（8）目标：弦长、中点、垂直、角度、向量、面积及范围等。接下来列举几个常见的题型，进而进行分析和解答。

1.求取值范围的问题

例如，直线和椭圆始终有交点，求椭圆方程中a或b的取值范围。

一般遇到这种情况，可以先看直线方程，找出其特点，看该直线是否过定点，同时观察椭圆的定点，初步确定所求变量的取值范围。该题的解题关键是直线和椭圆恒有公共点，从而确定题目的答案。

2.形成几何面积问题

例如，椭圆方程已知，求两焦点与椭圆y轴上的一个顶点所形成的面积。

做这种题目时，首先第一件事就是把图画出来，把需要的点都标出来。这个题目其实很简单，因为椭圆的方程式是已知的，就可以知道两个焦点的坐标，以及四个顶点的坐标，只需要进行简单的等腰三角形的求和公式的运算就可以得出答案。

3.求最小距离的问题

例如，椭圆方程已知，直线方程已知，求椭圆上是否存在一点到直线的距离最小以及最小距离为多少。

同样，第一件事是画图，将已知的内容全部画上去。假设存在一点与直线的距离最小，得出距离d的一个方程，与椭圆的方程进行联立求解，从而得出答案。从这个题目中，我们也可以得出，假如存在一个这样的点，距离d等于零的话，说明直线与椭圆相切；距离大于零，则说明直线与椭圆相离。假如存在两个点，距离d都等于零的话，说明直线与椭圆相交。

除此以外，还有其他很多关于直线和椭圆的题型，如椭圆上一点到两焦点连线的垂直问题、直线被椭圆所截得的弦长问题、求椭圆方程的问题等。但不管怎样，只要理清楚椭圆和直线所涉及的各个变量的运算方式和相关公式，要解决整个问题就不难，所谓万变不离其宗，其道理是一拥摹

四、结语

直线和椭圆之间的相关联系，一直都是高中数学教学中备受关注的，能够理清两者之间的交点问题，还是能够解决大部分的直线和椭圆之间的问题。不管是于直线和椭圆，直线和抛物线和其他曲线的解答思路都是差不多的，无非都是围绕相交、相切和相离几个因素转。因此，同学们应该重视这一方面的学习，不能在自己解决不了的问题面前止步不前，需要有耐心和坚定的信念一直走下去，那时候就会发现，其实并不是想象中的那么难走。

参考文献：

[1]张永楼.直线与椭圆位置关系判定的几何方法[J].中学数学研究，2013（10）

[2]刘绍学，章建跃.几何中的向量方法[J]. 数学通报，2004（03）

椭圆形面积计算公式范文第5篇

情境灵活，运算量大是圆锥曲线题目中的特点，不但要求同学们能够灵活理解题意，将点，直线，圆锥曲线之间的联系转化成方程的问题，更加要求学生能够灵活处理方程，真正解决问题.无疑对学生的思维能力和运算能力都是考验.

我们在解题过程中要多动脑筋，遇到困难时多想这条路能不能走通，怎么走.有没有其他更简捷的路可走.也就是可以通过以下两点来提高解题效率，简化运算过程.

一、选择最合适的解题方法

在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果.

例1已知椭圆中心在原点，一个焦点为（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，（1）求该椭圆的标准方程；（2）求椭圆上一点到直线x+2y-2=0的最大距离.

解（1）椭圆方程为x24+y2=1 （过程略）.

（2）解法1：设与直线l：x+2y-2=0

平行的直线l′：x+2y+t=0，

联立 x+2y+t=0，

x2+4y2-4=0，

可得（2y+t）2+4y2-4=0，即8y2+4ty+t2-4=0.

由l′与椭圆相切得：Δ=16t2-32（t2-4）=0，

得t=±22.由题意，取t=22.

两条平行直线之间的距离为|-2-22|5=3105.

所以椭圆上一点到直线x+2y-2=0的最大距离为3105，

解法2：设椭圆上任一点为P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π].

设P到直线x+2y-2=0的距离d，

d=|2cosθ+2sinθ-2|5=|22sin（θ+π4）-2|5.

所以d的最大值为|-2-22|5=3105.

说明换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等换元引参，往往起到化难为易、事半功倍之效.在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围改变原题条件.很明显，引入三角函数来凸显椭圆上点的特征使得运算思路和运算过程都得到简化，但这就要求同学熟练掌握三角函数的运算.

例2已知A（3，0）是圆x2+y2=25内的一定点，以A为直角顶点作直角ABC，B、C在圆上.求BC的中点M的轨迹方程.

解如图1所示，设M（x，y），连结OC，OM，MA.在RtABC中，因为M是BC的中点，所以OMBC，

|MA|=12|BC|=|MC|.

在RtOCM中，|MC|2+|OM|2=|OC|2.

所以|MA|2+|OM|2=|OC|2.

所以（x-3）2+y2+x2+y2=25.

所以M点的轨迹方程为x2+y2-3x-8=0.

说明：这里利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，因此有|AM|=|CM|，所以|CM|2+|OM|2=|OC|2.从而不必进行复杂的运算就可将问题解决.

在初中平面几何中详细介绍过直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的一些性质，所以在解有关直线与圆、圆与圆的有关问题时更要注意充分利用图形的几何性质，这样必将大大减少运算量.

例3在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-13.（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

解（Ⅰ）解：因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，-1）.

设点P的坐标为（x，y），由题意得y-1x+1・y+1x-1=-13，

化简得x2+3y2=4（x≠±1）.

故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4 （x≠±1）.

（Ⅱ）解法一：设点P的坐标为（x0，y0），点M，N的坐标分别为（3，yM），（3，yN）.

则直线AP的方程为y-1=y0-1x0+1（x+1），

直线BP的方程为y+1=y0+1x0-1（x-1）.

令x=3得yM=4y0+x0-3x0+1，yN=2y0-x0+3x0-1.

于是PMN的面积

SPMN=12|yM-yN|（3-x0）=|x0+y0|（3-x0）2|x20-1|.

又直线AB的方程为x+y=0，|AB|=22.

点P到直线AB的距离d=|x0+y0|2.

于是PAB的面积SPAB=12|AB|・d=|x0+y0|.

当SPAB=SPMN时，得|x0+y0|=|x0+y0|（3-x0）2|x20-1|.

又|x0+y0|≠0，所以（3-x0）2=|x20-1|，

解得x0=53.

因为x20+3y20=4，所以y0=±339.

故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为（53，±339）.

解法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0），即

12|PA|・|PB|sin∠APB=12|PM|・|PN|sin∠MPN.

因为sin∠APB=sin∠MPN，所以|PA||PM|=|PN||PB|，

所以|x0+1||3-x0|=3-x0|x-1|，即（3-x0）2=|x20-1|，

解得x0=53.因为x20+3y20=4，所以y0=±339.

故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为（53，±339）.

说明：解法2中选择面积公式时充分考虑到PA，PM在同一条直线上，PB，PN在同一条直线上，而夹角相等，所以选用面积公式S=12absinC，再利用弦长公式特点，大大简化了运算过程.

二、灵活把控运算过程

运算是学生在学习解析几何中的拦路虎，通过灵活把控运算过程，可以很好地降低运算难度，增强学习解析几何的信心.

例4已知椭圆x24+y2=1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点.（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.

解（1）直线AM的斜率为1时，直线AM方程为y=x+2，

代入椭圆方程并化简得5x2+16x+12=0，

解之得x1=-2，x2=-65，所以M（-65，45）.

（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2）.

由y=kx+2，

x24+y2=1，

化简得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0.

因为此方程有一根为-2，

所以xM=2-8k21+4k2，同理可得xN=2k2-8k2+4.

由（1）知若存在定点，则此点必为P（-65，0）.

因为kMP=yMxM+65=k（2-8k21+4k2+2）2-8k21+4k2+65=5k4-4k2，

同理可计算得kPN=5k4-4k2.

所以直线MN过x轴上的一定点P（-65，0）.

说明：这道题计算量大，需要通过直线与椭圆联立方程算出点M，N的坐标.计算过程中如果抓住以下几点，会大大减少运算：

①直线AM与椭圆联立得到方程（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，此方程的两根即为A点与M点的横坐标，所以此方程有一根为-2，再利用x1x2=16k2-41+4k2极易求得另一根.

②求N点的过程与求M点的过程完全相同，差异只在于斜率由k变为-1k，注意到这一特点之后，只要将M点坐标中的k用-1k去代换，就可以得到N点坐标.

如果你对问题看得更深刻一点，求得M，N点坐标之后，都是去与点（-65，0）计算斜率，注意“同理可计算得kPN=5k4-4k2”这一步，N点的坐标根本就不需要计算出来，直接在kMP=5k4-4k2中用-1k去代换k就可以求得kPN=5k4-4k2.

这就要求在解题时要多注意观察，弄清楚所求量之间的本质联系，多思维有时就能少运算，还能够节省时间，提高正确率，事半而功倍.

例5已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的离心率为33，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切.（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C2上，且满足QR・RS=0，求|QS|的取值范围.

解（1）由e=33，得b2a2=1-e=23；

由直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切，得22=|b|.

所以b=2，a=3，所以椭圆的方程是x23+y22=1.

（2）由条件，知|MF2|=|MP|，即动点M到定点F2的距离等于它到直线l1：x=-1的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y2=4x.

（3）解法1：由（2），知Q（0，0）.设R（y214，y1），S（y224，y2），

所以QR=（y214，y1），RS=（y22-y214，y2-y1），

由QR・RS=0，得y21（y22-y21）16+y1（y2-y1）=0，

因为y1≠y2，化简得y2=-y1-16y1.

所以y22=y21+256y21+32≥2256+32=64 （当且仅当y21=256y21，即y1=±4时等号成立）

因为|QS|=（y224）2+y22=14（y22+8）2-64，

因为y22≥64，所以当y22=64，

即y2=±8时，|QS|min=85.

故|QS|的取值范围是[85，+∞）.

分析：注意到QS的长度只与S点的坐标有关，R，S满足限制条件QR・RS=0.但是很多同学在计算过程中对于出现的两个变量y1与y2不能很好地紧扣目标，不知道如何去处理.

直线QR的斜率一定存在，设直线QR：y=kx（k≠0），

由y=kx，

y2=4x交点R（4k2，4k）.

所以直线RS为y=4k-1k（x-4k2），与y2=4x联立得k2y2+4k3y-16k2-16=0，所以4k・kS=-16k2+16k2.

所以yS=-4（k2+1）k=-4（k+1k）≤-8，所以y2S≥64.

所以QS=y4S16+y2S≥1484+16×82=85.