最小的合数范文第1篇

关键词： 最小二乘法 直线拟合 LINEST函数 应用

一、最小二乘法求直线拟合的原理

在大学物理实验中，有不少直接从实验的数据求某种物理规律的经验方程即函数关系的问题，此类问题称为方程的回归问题。方程的回归的首要问题就是确定函数形式，两个物理量x、y之间存在：y=a+bx（1）的线性关系，如用自由下落物体测量重力加速度，在气垫导轨上验证牛顿第二定律，用拉脱法测量液体表面张力系数实验中力敏传感器的定标，等等，（1）式中a、b均为常数，且只有一个变量x，此类关系也称为一元线性回归。回归的问题可以认为是用实验数据来确定方程中的待定常数，即求解参数a、b。例如实验测得的数据是x=x，x，…，x时，与之对应的y=y，y，…，y。假设x的误差可以忽略，仅y具有相互独立满足正态分布的测量误差，记作d，d，…，d。这样，把实验数据代入（1）式中，有：y=a+bx+dy=a+bx+d……y=a+bx+d（2），此方程由于未知数比方程数多，故不能直接求解，要想得到合理的a、b值，就要根据最小二乘原理，使y的残差平方和RSS=?蒡（y-（a+bx））（3）为极小值。由=0和=0，分别可得?蒡（y-（a+bx））=0（4）和?蒡（y-（a+bx））x=0（5），联立上式可得：a=（6），b=（7），进一步可得x和y的相关系数r：r==（8）。

二、LINEST函数的应用举例

拉脱法测量液体表面张力系数实验是大学物理实验中的一个经典实验。随着实验仪器的更新，传统的焦利氏称逐渐作简便准确度更高的FD-NST-Ⅰ型液体表面张力系数测定仪所取代，实验仪器如图1所示。

在该实验中，记下吊环即将拉断液柱前一瞬间数字电压表读数值，拉断时瞬间数字电压表读数U，便可依据公式f=（U-U）/b（9）测得液体表面张力f，（9）式中b为硅压阻力敏传感器的灵敏度。在力敏传感器上分别加各种质量的砝码，测出相应的电压输出值，结果见表1所示。

力敏传感器为测力装置，在拉力小于0.098N时，拉力和数字电压表的输出值成y=a+bx的线性关系，其中b为力敏传感器的灵敏度。得到b值的过程我们称为力敏传感器的定标。在定标过程中需要用最小二乘法拟合仪器的灵敏度b，该计算很繁琐，但根据误差理论此方法最佳，我们可利用Excel软件中的LINEST函数进行数据处理，方便简洁不易出现错误。

打开Excel软件，在A栏和B栏分别输入数字电压表的输出值和砝码对应的拉力数值，其中B栏数值的单位为N，如图2。

选C、D栏为放计算结果的区间，鼠标点击“插入”栏选择“插入函数”，弹出“插入函数”二级界面后，在“或选择类别”栏选择“统计”，在“选择函数栏”点击LINEST函数，如图3所示。

鼠标点击确定后进入如图4所示的界面，在Known_y’s栏输入A1∶A7，在Known_x’s栏输入B1∶B7，Const和Stats栏分别输入true。

按Ctrl+Shift+Enter键，便得到了最小二乘法求直线拟合后的数据，如图5所示。其中C1栏显示为斜率，即经最小二乘法拟合后的仪器的灵敏度b，b=3.015×10mV/N。C3栏为拟合的线性相关系数r=0.9994。

三、结语

通过以上的实例分析可知，在大学物理实验数据处理中，用传统方法求解一元线性回归方程的参数计算量大，容易出现错误，学生在处理数据时也易产生抵触心理。合理利用Excel软件中的LINEST函数进行数据处理，简单方便，不失为最小二乘法求直线拟合的一种好方法。

参考文献：

［1］杨述武.普通物理实验（2版）.北京：高等教育出版社，1993.3.

最小的合数范文第2篇

关键词：复合材料 强度准则 最小强度比 最小安全系数

中图分类号：TB332 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2013）002-030-02

1 引言

复合材料越来越被人重视，应用也越来越广。在复合材料结构设计中，结构的安全性是一个很重要的因素，也是设计者非常重视的问题。我们通常用强度比和安全系数来衡量结构的安全状况。

然而，目前国内外相关标准中有关复合材料层合结构强度比的准则并不同。目前国外使用的相关准则为“蔡-吴准则”，而国内主要采用最大应力和最大应变准则。但是，目前并没有专门的理论知识来介绍这两类强度准则的联系与差别。

例如：在针对储罐设计时，国内的一般按结构的层合板的表观强度与实际表观应力之比进行分析，一般取10倍。而美国的AMSE标准，当容器不在极端条件使用时，层合板的结构层的各层在各种荷载组合下的最小强度比为1.6，在极端条件时各层最小强度比需为2，而内衬的强度比一般取8～10。这两种强度准则有很大的区别。

针对这种现状，本文通过建立两种不同的有限元模型：一类是以层合结构的表观参数输入的氧化塔筒体的有限元模型（层合模型），另一类是以单层材料参输入的氧化塔筒体的有限元模型（单层模型）分别进行模拟计算，分析结构的安全系数和强度比这两者之间的联系与差别。从而，给出两种强度准则的比较和评价。

2 有限元计算分析

2.1 计算目的与计算内容

对典型复合材料层合结构建立两类不同的有限元模型，以直径为12m，高度为12.94m的氧化塔筒体部分进行模拟。一类以层合结构的表观参数输入有限元分析模型（层合模型），另一类是以单层材料参数输入有限元分析模型（单层模型）。对于不同受力状态下两类模型分别进行强度计算，获得结构的应力应变云图。分别对两种模型的应力强度安全系数进行计算，并且对各层材料强度比进行计算。比较在同种受力状态下的强度比和应力安全系数之间的关系。

2.2 氧化塔的材料参数

2.3 荷载统计

塔内液体压力统计 荷载包括塔内液体压力和塔内设计压力，塔内液压按静水压力施加，液体密度为1200kg/m2，塔内设计压力按3000kg/m2。

2.4 有限元模型

3 结果与分析

对于工程上，氧化塔模型的最大应变为环向应变，并且都小于1000，满足设计要求。这里就不再列表说明，主要分析两种模型的强度。

从以上计算结果可得到：在给定荷载作用下，就层合模型自己比较，在相同的工况下，最小安全系数和最小强度比是非常接近的。工程上的设计要求，在一般工况下，最小安全系数不能小于10，是满足设计要求的。

与层合模型一样，对于同种结构，在相同的工况下，单层模型结构层5和结构层4内衬的最小安全系数和最小强度比是非常接近的。而对于单层模型结构层的各层材料的最小安全系数和最小强度比可见表2，表3。从表中数据可看到，在两种工况下，针织毡的最小安全系数小于10，其它的各层材料最小安全系数均大于10。但就各层材料本身而言，各层材料的最小安全系数和最小强度比也是很接近的。并且对于在不同铺层的同种材料，它的各层最小安全系数和各层最小强度比的变化也都不大。

比较单层模型和层合模型，对于两种模型的相同结构层的内衬，在同种荷载作用下，最小安全系数和最小强度比的区别都不大。这两个值也是非常接近的。

4 结论

从以上有限元的模拟分析，按照最大应力准则设计的氧化塔模型，满足内衬和结构层的应力最小安全系数大于10的前提下，计算出来的单层模型和层合模型，在同种应力状态下，对两种模型自身而言，各个部分的应力最小安全系数和最小强度比的大小很接近；对两种模型之间比较，他们内衬的强度很接近，并且各自的应力最小安全系数和最小强度比的大小也很接近。因此，可以得出结论：

（1）结构的应力安全系数与强度比的关系与结构的应力状态及材料的强度有关。

（2）在复合材料设计中，对于氧化塔这种大型储罐，结构的应力最小安全系数与最小强度比是很接近的。对于类似这种大型结构的设计，用国内的最小应力安全系数为10的标准比较准确安全。

（3）在工程中，类似氧化塔的大型储罐的复合材料结构设计时，国外ASME标准中的最小强度比为1.6的标准需要谨慎运用。

参考文献：

[1] 陈建桥.复合材料力学概论[M].北京：科学出版社，2006.

最小的合数范文第3篇

关键词：计算机辅助，卡诺图，逻辑函数

中图分类号：TP312文献标识码：A 文章编号：1009-3044(2007)05-11270-03

1 逻辑函数的基本定义

当自变量的取值（定义域）只有0和1（非0即1）函数的取值也只有0和1（非0即1）两个数――这种代数就是逻辑代数，这种变量就是逻辑变量，这种函数就是逻辑函数。另外一种定义是：如果有若干个逻辑变量（如A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值（如0000、0001、0010）L有唯一的值与之对应，则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为：L=f(A、B、C、D)。逻辑代数，亦称布尔代数，其规定：(1)所有可能出现的数只有0和1两个。(2)基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。

通常，逻辑函数的化简方法有两种：公式化简法和卡诺图化简法。公式化简法只适用于比较简单的逻辑函数化简。而比较复杂的逻辑函数常用卡诺图法来进行化简。因为卡诺图化简法能直观地、正确地得到函数的最简表达式，它是逻辑函数化简中较实用的一种方法。在数字电路中，逻辑函数的表示方法有：真值表，函数表达式，逻辑图以及卡诺图。

而卡诺图又分为变量卡诺图和逻辑函数卡诺图。所谓变量卡诺图就是用图示的方法，将各种输入变量取值组合下的输入函数值一一表示出来；在变量卡诺图的基础上，把构成函数的最小项填入相应的小方块中，便可得到逻辑函数的卡诺图。

2 卡诺图的化简

步骤分为三步： (1)首先将逻辑函数用卡诺图表示出来;(2)合并卡诺图中为“1”的最小项；将所有相邻的“1”按2的整数次方个为“1”的方格为一组构成若干个矩形圈，这种圈称为卡诺圈，所有圈中必须至少有一个“1”方格没有被圈过，并所有的圈尽可能大;(3)写出最简的函数表达式。

例化简函数F(A，B，C，D)=∑m(3，4，5，7，9，13，14，15)。

上图中有两种圈法，在图a中最大的圈中每一个“1”都已经被圈过“0”，如果写出其表达式共有5项，而图b的圈法是正确的。其化简的表达式为：

F（A,B,C,D）=ACD+ABC+ACD+ABC

卡诺图的化简依据：利用卡诺图化简函数的依据在卡诺图的构成特点中已讲到了，即卡诺图中每两个相邻小方格所代表的最小项只有一个变量不同，如果相邻的两个小方格填的是1，则利用构成特点消。

3 卡诺图与真值表的关系

任意与或表达式对应的卡诺图的填入方法：首先分别将每个与项的原变量用“1”表示，反变量对应的变量用“0”表示，在卡诺图上找出相交点，在其方格上填上“1”;而在其没有相交点的方格上填上“0”。 只要当任意一项的或项为“0”时，函数的取值就为“0”，什么时候或项为“0”呢？我们只须将组成该或项的原变量对应的变量用“0”、反变量对应的变量用“1”代入，这时该函数就为“0”了。故写其对应卡诺图的方法是：首先将每个或项的原变量对应的变量用“0”、反变量对应的变量用“1”代入，在卡诺图中找出相交点，在这些相交点上填上“0”；然后在没有填上“0”的方格上填“1”即可。例F(A,B,C,D)=(A+C)(B+D)(C+D)写出函数应的卡诺图。

已提到了卡诺图与真值表之间的关系，由表达式与真值表、最大项表达式与真值表、最小项表达式与真值表之间的关系我们可以方便将其填入卡诺图中。

4 逻辑函数在卡诺图上的表示

用卡诺图描述一个逻辑函数时，一般应将函数表达式变换成为"与-或"表达式或者标准"与-或"表达式。

对“与-或”表达式表示的函数，可按照卡诺图上与的公共性、或的叠加性、非的否定性作出相应卡诺图；对标准“与-或”式表示的函数则只需在卡诺图上找出和最小项对应的小方格并填上“1”，其余小方格填“0” （或以空白代替“0” ）。

在利用卡诺图对逻辑函数进行化简的时候，必须遵循有关的规则，才能得到正确的结果。规则如下：

(1)根据逻辑变量的数目或最小项的编号画出相应的卡诺图。

(2)根据逻辑函数的表示方法，在卡诺图中相应的小方块上填上乘积项或最小项的值。若乘积项是由卡诺图中斜线一边的同侧变量组成，则填写的小方块按“相连”的规则确定；拖为异侧（或含异侧）变量组成，则按“相交”的规则确定。若函数是由最小项的和式给出，则可以按最小项的编号直接在相应的小方块填入。

(3)用画包围圈的方法合并最小项，进行逻辑函数化简。包围圈应尽可能大，以便削去最多的变量，使逻辑函数最简。但包围圈中小方块（即最小项）的个数N应为： N=2n（n=0，1，2，3，4，5，6）

换言之，小方块的个数只允许为1，2，4，8，16，32或64，而不允许为3，5，6，7，9，10，…等等。

卡诺图中每一个最小项均应该被包围，但是同一最小项可被不同的圈包围多次。这样做的根据可由逻辑代数中的同一律得出。

(4)一圈中的所有最小项均由其他的圈所包围，则此圈属多余。

(5)根据几何相邻的含义，卡诺图中，最上与最下，最左与最右，四个顶角以及轴对称的最小项应该分别画在一个包围圈中。

(6)若逻辑函数带有约束项的时候，与约束项对应的小方块填入“X”，以示区别。根据需要，“X”号的值可为“1”为“0”，以便于画包围圈。

(7)根据包围圈的个数以及圈中不能削去的逻辑变量的几何关系（“相连”或“相交”），即可得到逻辑函数的最简与或式。

(8)由于包围圈中约束项的取值不同，有时逻辑函数的最简与或式可能不同，哪一种为最简，需要检查和比较才能确定。

用卡诺图化简逻逻辑函数的基本依据则是一个重要且较难理解的内容：

卡诺图实际上就是用来直观地反映最小项之间逻辑相邻关系的一种最小项方格图。在卡诺图上把逻辑相邻项安排在位置相邻(这里所说的位置相邻是一种广义的相邻，卡诺图上位置相对的方格也可说成相邻关系，因为如果将卡诺图对称折叠，这些位置相对的方格即能重合，所以把卡诺图看成可折叠的图纸，这些位置相对的方格实际上也是相邻关系)的方格中，即通过用几何位置相邻来反映逻辑相邻关系。为什么在卡诺图上逻辑相邻关系清楚，就可以为化简逻辑函数提供方便呢?这就是必须弄清楚用卡诺图化简逻辑函数的基本依据的问题，即:AB+AB=A。

以上逻辑等式表示两逻辑相邻项可以合并成一项，并消去一个变化了的因子而达到简化表达式的目的。卡诺图清楚地反映出了最小项之间的逻辑相邻关系(即哪些项之间是逻辑相邻关系)，所以在卡诺图上可以方便地将逻辑相邻项圈起来进行合并。将任何需化简的逻辑函数写成最小项之和的形式，就可以用卡诺图表示该逻辑函数并方便地对其进行化简了。了解了用卡诺图化简逻辑函数的基本依据，则可以对为什么在卡诺图上把逻辑相邻项圈起来进行合并以及合并的结果为什么是保留若干逻辑相邻项的公因子都能做到透彻理解。

用卡诺图化简逻辑函数过程中要：

(1)合并最小项的规则

在卡诺图上将逻辑相邻项加圈进行合并时，如何加圈以及加圈合并后的结果(每个合并圈代表一个由若干轻工业量构成的乘积项)与原最小项相比有什么变化，根据用卡诺图化简逻辑函数的基本依据，将在卡诺图上加圈合并最小项的基本规则总结如下:

2n个逻辑相邻且排成矩形的最小项方格可以合并成一项，并消去“n”个因子，合并结果保留这些最小项的公因子。

由以上阐述可知在卡诺图上加圈合并最小项须把握以下两点：第一、加圈合并的最小项方格数必须是2n (n=1、2、3……)，合并结果为每个合并圈代表一个乘积项，该乘积项比合并前最小项减少n个因子。第二、要合并的对应方格必须排成矩形或正方形。掌握合并最小项的规则，其一有助于检查判断化简结果的正确性，譬如四个最小项圈起来合并，而写该圈代表的乘积项时，只比原小项减少了“1”个因子，则可以肯定该乘积项是错误的。其二有助于理解为什么在卡诺图上加圈合并最小项化简逻辑函数时，合并圈越大则化简过程越方便，则化简结果越简单。

(2)为了使化简结果到最简状态，在卡诺图上加圈合并最小项的过程中须着重把握如下三点：第一、尽量减少合并圈的数目，因为每个合并圈代表着合并结果中的一个乘积项，所以合并圈数目越少，则化简结果中所包含的乘积项就越少。第二、使合并圈尽可能扩大，根据前述合并最小项的规则，合并圈越大，参与合并的最小项方格越多，即2的幂次越高，合并后减少的因子就越多，则合并圈所代表的乘积项包含的因子就越少。第三、每个合并圈内都必须保证至少有一个“1”格只被圈过一次，即每个合并圈内必须至少保证有一个特征“1”格，以此避免合并结果中出现冗余项。

化简后的结果是逻辑函数的与或表达式，在与或表达式中所含乘积项越少，每个乘积项所含因子越少，则与或表达式越简洁，所以合并过程中把握了以上几点，则能将逻辑函数化为最简状态。

5 计算机辅助卡诺图化简逻辑函数的实现

计算机辅助化简法利用C语言的位操作可以将任意复杂的五变量及以下的逻辑函数用一个表达式的形式输入计算机，输出来的就是逻辑函数对应在卡诺图上的“0”、“1”逻辑值。

以三变量为例来说明方法要点。第一部分，三变量卡诺图，共八个方格，每五个小方格对应一个逻辑值“0”或“1”。这八个值可以看成C语言一个整型数的二进制数一位。

第二部分是变量的初始化： 在进行逻辑化简时，无非就是对变量A、B、C进行与、或、非三种运算。根据A、B、C在卡诺图上所对应的方格，分别为：

A（0011 0011）

B（0110 0110）

C（0000 1111）

其中A、B、C中的前四位代表卡诺图上第一行，后四位代表卡诺图上的第二行。A、B、C分别与一个二进制数八位相对应。因此，只要给变量A赋51，B赋102，C赋15。

第三部分是C语言的位运算：当要对逻辑函数进行化简时，无非就是对逻辑函数变量A、B、C的逻辑值进行与、或、非三种运算。当作与运算时，参与运算的两个逻辑变量在同一小方格都为“1”时，他们与运算的结果才为“1”，否则对应这个方格的运算结果为“0”。这种与运算正好和C语言中对应的A、B、C初值的十进制数转化成的二进制数的位的与运算相一致。同样，逻辑或运算对应C语言的位或运算，逻辑非运算对应C语言的取反运算，逻辑异或运算对应C语言的位异或运算。可以利用C语言的位运算实现逻辑函数的逻辑运算。

第四部分是运算的先后顺序：利用C语言的位运算能实现逻辑函数的逻辑运算，还有一个问题必须解决的就是四种运算的先后顺序。逻辑运算的顺序由高到低为先非，后与，再或。而C语言的位运算由高到低是取反，与，或，逻辑运算的次序正好和对应的位运算次序相一致。因此，只需将逻辑函数转化成C语言位运算表达式。

第五部分是数据的输出： C语言的位运算结果仍然是二进制数，但是输出结果只能是以八进制或十进制数形式输出。我的一个子程序实现用二进制位形式输出，并且输出符合卡诺图的形式。因此只要将输出二进制位填入相应卡诺图上，然后将其用卡诺图化简成最简的逻辑函数。

关于本程序的几点说明：本程序为逻辑函数计算机辅助卡诺图化简程序。

a.关于变量名。程序中使用的变量名为A、B、C、D、E，若逻辑函数的变量名不是它们时，把第一个变量换成A，第二个换成B，依次类推。输出逻辑值后，相应的卡诺图上的A、B、C、D、E换成逻辑函数的变量名。

b.关于变量个数。程序中只编写了能处理五个变量及以下的计算机辅助卡诺图程序，若为三变量，只须修改程序中辅初值语句为A=51，B=102，C=15，输出函数中循环改为FOR（I=8；I〈=1；I--〉。若为四变量，则将赋值语句改为A=13017；B=26214；C=255；D=4080；

附上“逻辑计算”部份程序：

6 小结

应用了C语言编程，实现了卡诺图化简逻辑函数的高效性。

参考文献：

[1]余孟尝.数字电子技术基础.高等教育出版社.

[2]谭浩强.C语言程序设计.清华大学出版社.

[3]许开华.用卡诺图化简逻辑函数过程中的几个问题.攀枝花大学报，(19，12).

[4]陈志腾.使用卡诺图的规则.韶关大学学报，(20，2).

[5]王兆安，王成华，吴刚，等.数字基础.科学出版社.

[6]刘光正.逻辑函数卡诺图化简研究.河北大学学报.(14，3).

最小的合数范文第4篇

【关键词】最小二乘法 多项式拟合 相关系数 消费品零售总额

一、最小二乘法的定义

二、最小二乘拟合的误差分析

由于在数据采集时出现观测误差是不可避免的，因此常设想所寻求的曲线与实验数据之间的误差在某种度量意义最小，令

其中i代表拟合值；代表观测值的平均值；yi代表观测值。Se，R2，s分别代表残差平方和，相关系数和剩余标准差。其中残差表示描述的是预测值（估计值）的期望与真实值之间的差距。残差越大，越偏离真实数据。当R2越大，说明残差越小，回归曲线拟合程度也就越好。当s越小，说明残差越小，也可以说明曲线的拟合程度越好。相关系数，剩余标准差都与残差，取决标准是一致的，只是看待问题的角度不同，因此可以利用上述的方法进行分析研究。

三、最小二乘法的应用

经济走向由许多因素共同决定，一个社会的良好发展取决于经济的总体发展，这个是取决于消费品的供给与需求之间的关系。如若供给大于需求，会有产品闲置，间接导致失业的结果；如若需求大于供给，增大对进口的需求，导致资金外流。所以，对于供求关系的把控是需要一定的估计，那么最小二乘法就提供了这样的方法，将损失最小化，将社会发展最大化。经调查和数据收集，某地区2015年3～12月社会消费品零售总额当期值（亿元）如下表格所示：

对应的拟合函数图像：

计算出来的3个对应残差平方和。s1=215.61，s2=194.30，s3=194.02，C合以上结果，三次拟合偏差最小，即经过3次拟合得到的拟合效果是相对较好的拟合方程，其方程为：

Y=104（2.2562-0.0198x+0.0083x2-0.0002x3），x∈（1，26）

代入x=13，得到y=29621即2016年一月份.社会消费品零售总额当期值为29621（亿元）

代入x=14，得到y=31070即2016年二月份.社会消费品零售总额当期值为31070（亿元）

代入x=15，得到y=31517即2016年三月份.社会消费品零售总额当期值为31517（亿元）

可见，如果销售品较为稳定，可以用最小二乘法进行趋势预测。

以2016年1月份为例，经过计算，y的残差为1968.6，相关系数R2=0.9147，剩余标准差s=69601，我们知道，当R2越大，证明残差越小，回归曲线拟合程度也就越好。当s越小，说明残差越小，也可以说明曲线的拟合成都越好。与其它拟合曲线相比，该拟合曲线的残差平方和最小，相关系数最大，剩余标准差最小，三者统一，共同说明拟合的效果最佳，所以我们的解决方法对我们运用于实际中来分析问题是有参考价值的。

通过得出的结果，我们可以预估未来年份的当期值，对应这个我们可以生产相应的产品来满足，就避免了过大的供求差异关系，即2016年一月份、二月份及三月份社会消费品总额分别约为29621亿元、31070亿元及31517亿元，根据各消费品的比例分布，生产相应的产品，使得供求基本一致，更好地促进社会经济的发展。

四、总结

在处理上述问题的过程中，我们对在一定时期内，较为稳定的数据进行最小二乘进行趋势预测，分别对问题运用了一次、二次和三次三种不同的多项式拟合，通过得出的结果，我们可以知道在一定范围内，当拟合的多项式次数较高时，多项式拟合的误差平方和小，则拟合的效果会较好。相关系数能够揭示生活问题两组数据间的关系，再通过选取好的拟合函数，得到预测结果更加准确，从而更好制定方案。

参考文献

[1]宣明主编.数学建模与数学实验[M].浙江大学出版社，2010.

[2]刘玲.王正盛.数值计算方法[M].科学出版社，2010.

[3]陈秋玲..最小二乘法在汽车销售量预测中的应用[J].合作经济与科技，2010，10：82-83.

[4]陈利萍.最小二乘法在出院人数预测中的应用[J].延安大学学报（自然科学版），2008，03：13-15.

[5]彭新宽.最小二乘法的应用.智富时代[J].2016（第三期），242.

最小的合数范文第5篇

在新课标教材《数学3（必修）》第二章统计第三小节变量间的相关关系课本中介绍了用每个样本点与线性回归直线对应点的纵坐标差的平方和最小来刻画“从整体上看，各点与直线的距离最小”，并用最小二乘法推导出线性回归方程的斜率与纵截距。

在刻画“从整体上看，各点与直线的距离最小”中新课标教材《数学3（必修）》给出了另外三种方式。但是在选择上没有给出任何关于哪样的程度是可靠性强及合理的解释，就直接选取了每个样本点与线性回归直线对应点的纵坐标差的平方和最小来刻画。

那么上述三种方式模拟出的直线是怎样的形式，以及怎样的程度才是比较合理的和可靠性强的？

二、讨论与分析

以新课标教材探究中人体脂肪含量和年龄关系为例

如果我们只用除去最后一个数据即点（61，34，6）来用最小二乘法拟合回归直线，则可计算得到回归方程为y=0.5775x-0.4854，如果代入61年龄检验可得到y=34.74，与样本中所采集的数据34.6之间的偏差为0.14。

2.1教材所提供的其他三种方式拟合回归直线。

2.1.1各点到直线距离和最小来拟合回归直线。

我们把“各点到直线距离和最小来拟合回归直线”记作方法一。

把我们所获得的组数据（最后一组数据用来检验回归直线的拟合情况用），记为：

设，通过利用LINGO软件编程可以实现计算出Q（a，b）最小时的a，b，进而得到此法下拟合的回归直线方程为y=0.6x-2.2，如果代入最后一点的数据61检验可得到y=34.4，与样本中所采集的数据34.6之间的偏差为-0.2。

2.1.2直线两侧点个数基本相同来拟合回归直线。

我们把“直线两侧点个数基本相同来拟合回归直线”记作方法二。

可以想到如果把13这组数据描绘成散点图，然后用一条斜向下的直线去分割数量得到的直线肯定不合适；所以我们还是用和数据走势一致的直线去拟合回归直线，同时也很容易想到这样的直线不定。

通过散点图的观察和计算13组数据所构成点的坐标与原点的斜率可以看出斜率变化不大，因而我们用过原点的直线去拟合回归直线并让直线两侧的点数基本相同，根据斜率大小找到回归直线方程为y=0.5639x，如果代入最后一个点的数据61检验可得到y=34.3979，与样本中所采集的数据34.6之间的偏差为-0.2021。

2.1.3用多条直线的斜率、纵截距平均数来表示回归直线。

我们把“用多条直线的斜率、纵截距平均数来表示回归直线”记作方法三。

不难想到这多条直线的选取应该根据样本点的走势来看，同时可以想到这种方法去拟合的直线不定。

根据样本描绘的散点图选择了多组与整体走势相近的7组点得到直线的斜率和纵截距，然后用斜率、纵截距的平均值作为回归直线的斜率和纵截距，从而得到的拟合回归直线方程为y=0.639x-2.5534，如果代入最后一个点的数据61检验可得到y=36.43，与样本中所采集的数据34.6之间的偏差为1.827。

2.2比较上述的四种方法拟合的回归直线的特点。

首先说到方法一，这是最容易想到的，同时也是最让人接受的方法，在实际教学过程中很多学生都会问到这个方法为什么教材直接就否定了而采用“最小二乘法”，即利用各个样本点与回归直线偏差的平方和来拟合，且从图形中也可以看到，点到直线的距离与点到直线的偏差“等价”，两者之间差一个系数而已。

其实两个方法之间的确有差异，虽然看起两者只差一个系数，但是这个数却与回归直线的斜率有关，即在确定直线之前是一个变量。再有比较两种方法可以看到利用“最小二乘法”得到的估计值比较接近实际测量值。

其次说到方法二和方法三，在实际教学中学生很容易想到这两个方法使用起来一不方便，二这两个方法所确定的直线不唯一也就不好判定谁具有最佳的拟合程度。而且从刚才利用两个方法拟合到的直线也可以看出与实际测量值的差距比较大。

2.3最小二乘法的特点。

追溯最小二乘法的历史可以知道早在1806年法国科学家勒让德独立发现，并成功的让高斯通过统计40天的谷神星的观测数据计算得到了谷神星的轨迹。从这点来说最小二乘法不仅可以很好的拟合两个变量的直线形式，而且还可以拟合两个变量的曲线形式。

不过任何方法都有其缺点，利用最小二乘法拟合直线时对两个变量的数据要求比较高，要使得数据的随机误差满足正态分布，同时也可以验证当样本点中出现了异常点时，用最小二乘法拟合得到的直线则误差较大。

三、结束语

在比较了最小二乘法与其他的方法拟合回归直线的优缺点后，可以让学生更好的体会到最小二乘法的优越性和必要性，使得数学学习更加自然；而且回顾最小二乘法的历史也让学生体会数学的魅力。

再者在新课程的教学背景下，从教材的编排中可以看出，现在教学更需要注重知识的实用性和过程性，不仅要求学生要知道怎样去用，更要明白为什么可以这么用。

【参考文献】

[1]人民教育出版社中学数学室.普通高中新课程实验教课书.数学3必修（A版）[M].北京：人民教育出版社，2005