倾斜角与斜率范文第1篇

《直线的倾斜角与斜率》是必修2模块解析几何《直线与方程》的章头起始课.

这部分知识是在立体几何初步研究之后介绍的,处于承上启下的地位.这节课设计的意图是通过较多直观图形的引入,让学生了解直线的相关知识,在内容的设计上通过丰富的实例来展开内容,通过学生与学生互动,学生与教师的互动来完成教学任务.由于本课涉及的知识点较为零散,所以使用多媒体课件和投影仪辅助教学.

教学目的:(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.

(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过 两点的直线斜率的计算公式

教学重点:(1)斜率的概念,用代数方法刻画直线斜率的过程,过两点的直线斜率的计算公式.

(2)根据斜率判定两条直线平行或垂直.

教学难点:直线的斜率与它的倾斜角之间的关系,根据斜率判定两条直线互相垂直.

教学用具:多媒体,投影仪

教学方法:小组协作,启发式教学

教学过程:

章头起始课,介绍本章内容在数学体系的地位

师:在平面直角坐标系中,点用坐标表示,直线如何表示呢?

对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置由哪些条件确定呢?

一个点能确定吗?请看下图:

生:不能,这几条直线都过同一个点,也就是说一点不能确定一条直线.

师:那么仅仅知道直线的倾斜程度呢？能确定一条直线吗？

生:显然不能，如图所示，这些直线的倾斜程度都是一样的.

师:通过上面的两个图片,您能说明平面直角坐标系内的一条直线的位置可由哪些量确定?

生:一点和直线的倾斜程度.

师:很好,那我们怎样描述直线的倾斜程度呢?

生:课本介绍可用倾斜角来表示.

师:大家都清楚倾斜角的定义吗?请回答下列直线的倾斜角.

（学生小组协作，回答问题）

生:直线的倾斜角分别是45°,30°,90°.

师:有没有不同的意见?

生:我认为第一条直线的倾斜角是135°.

师:大家同意哪种观点?为什么?

生:我同意后一种观点.因为倾斜角的定义是:直线的向上方向与x轴正向所成的角,所以第一条直线的倾斜角因该是45°的补角135°.

(教师再次强调倾斜角的定义,也可适当增加图形,强化学生对于倾斜角的正确认识,并指出直线倾斜角的定义是:当直线与 轴相交时,我们取 轴作为基准, 轴的正向与直线的向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角)

师:由倾斜角的定义,你可否得到直线倾斜角的取值范围呢?

生:0°

师:很好,回答正确.

(教师利用多媒体课件动态演示直线的倾斜角范围,这样做,使学生感受数学是自然的,并不是强加于我们的.)

师:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的 倾斜角为0°.倾斜角相同的直线是一组平行线.

（点评:作为章头起始课,又是概念教学,一定要从学生的认知水品出发,将问题细化到所有学生都能接受的水平,让学生能够体会获得成功是足够小的步骤)

我们思考一下:日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

(小组讨论,并由各个小组推荐学生发言)

生:爬坡时,有的坡陡峭,有的坡平缓!

师:很好!并且我们知道 ,同学们能否将坡度比与以前学习过得三角函数知识联系起来呢?

生:

师:我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.运用这个公式的注意事项有哪些?

生:倾斜角是90°的直线斜率不存在.但是这样的直线是存在的,比如上面展示过的第三条直线倾斜角不同,直线的斜率也不同,因此我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.

师:总结的很到位,那么我们如果知道一条直线的倾斜角,就可以轻松算出它所对应的斜率,下面我们一起来探究一下若给定两点 = , = , ,如何确定直线 的斜率.

(小组讨论, 教师可尝试设一个小组的意见为靶子,让大家对他们的意见发表见解,那么在具有团体性质的认识将会更加深刻,在小组合作讨论的时候,教师不能站着等待,不能观望,也不能干自己其他的事情,而是深入到小组当中去,了解学生的合作效果,讨论的焦点,认识的过程等等.)

师:哪个小组先上来展示你们的讨论结果?

生甲:如图:

直线方向向上时,倾斜角为锐角时, = ,在 中，

师:其他小组的探究结果呢?都和这个小组一致吗?

生乙:我们研究的是当直线的倾斜角为钝角时的情况,如图:

直线的倾斜角为钝角, (设 ),则 .在 中,

师:刚才两位同学分别从倾斜角为锐角和钝角两个方面总结直线 的斜率,大家发现这两种情况的直线斜率怎样?

生:相等

师:同样当直线的方向改变时,也有 即 .

大家思考这样一个问题:当直线 与 轴平行或重合时,上述式子还成立吗?为什么?

生:成立,因为此时直线的倾斜角是0°. .也可以根据这条直线的纵坐标都相等,即 也能得到 .

师:解释的很到位,大家值得注意的是公式中的两个点 是我们任取的,满足 的点都可以取得,因此这个公式的本质是纵坐标 的变化值与横坐标 的变化值得比即直线的斜率公式的本质: .

通过上面的探究我们得到怎样用两点表示直线的斜率,关于这个公式同学们可否用语言描述?

生:如果已知两点的坐标,这两个点确定的直线斜率是这两个点的纵坐标差比上这两个点的横坐标.

师:同学们都同意这个说法吗?有没有人要补充?

生:这两个点必须满足横坐标不相等即 .

(学生接受概念的能力会有差别的,此处不要怕学生出错,因为课堂教学是一个能动的过程,学生的回答往往会不经意的出现一些"意外"教师应及时扑捉.因势利导,调动学生学习的积极性和主动性,促进新的资源生成.)

倾斜角与斜率范文第2篇

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

（3）掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.

一、直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．

（2）范围：直线l倾斜角的范围是．

2．斜率公式

（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．

（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则直线l的斜率k＝．

二、直线的方程

1．直线方程的五种形式

方程

适用范围

①点斜式：

不包含直线

②斜截式：

不包含垂直于x轴的直线

③两点式：

不包含直线和直线

④截距式：

不包含垂直于坐标轴和过原点的直线

⑤一般式：不全为

平面直角坐标系内的直线都适用

2．必记结论

常见的直线系方程

（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)还可以表示为y－y0＝k(x－x0)，斜率不存在时可设为x＝x0.

（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．

（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0.

（4）过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．

考向一

直线的倾斜角与斜率

1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan

x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.

2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tan

x的单调性求k的范围．

典例1

若两直线的倾斜角和斜率分别为和，则下列四个命题中正确的是

A．若，则两直线的斜率：

B．若，则两直线的斜率：

C．若两直线的斜率：，则

D．若两直线的斜率：，则

【答案】D

【名师点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

典例2

直线经过点，两点（），那么l的倾斜角的取值范围是

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由直线经过点，两点，则可利用斜率公式得.来源:Zxxk.Com]

由，则倾斜角取值范围是.故选B.

1．已知，，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是

A．

B．

C．

D．

考向二

直线的方程

求直线方程的常用方法有

1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．[来源:学科网ZXXK]

2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．

3.直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．

学#

4.

求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0.

典例3

已知，则过点和线段的中点的直线方程为

A．

B．

C．

D．

【答案】B

典例4

ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,

3)，求：

（1）BC边所在直线的方程；

（2）BC边上中线AD所在直线的方程；

（3）BC边的垂直平分线DE的方程．

【思路分析】

2．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线的方程为________________．

考向三

共线问题

已知三点若直线的斜率相同，则三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.

学#

典例4

若三点共线，则实数m=_____________.

【思路分析】由三点共线构造两条直线的斜率相等，问题便转化为解方程.

【解析】由题意得.

三点共线，，

，

解得．

3．若三点共线，则

.

1．已知M(a，b)，N(a，c)(b≠c)，则直线MN的倾斜角是

A．不存在

B．45°

C．135°

D．90°

2．如果直线l过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是

A．[0,1]

B．[0,2]

C．

D．(0,3]

3．已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为

A．

B．

C．

D．

4．若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是

A．(－2,1)

B．(－1,2)

C．(－∞，0)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

5．若直线l1:y=k(x−4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点

A．(0,4)

B．(0,2)

C．(−2,4)

D．(4,−2)

6．若过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为

A．

B．

C．

D．

7．如图，已知直线l1：y=－2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（－2，0），则k的取值范围是

A．－2＜k＜2

B．－2＜k＜0

C．0＜k＜4

D．0＜k＜2

8．直线过点，且与以，为端点的线段总有公共点，则直线斜率的取值范围是

A．

B．

C．

D．

9．设直线的倾斜角为，且，则直线的斜率的取值范围是__________．

10．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为__________．

11．在平面直角坐标系中,经过点的直线与轴交于点,与轴交于点.若,则直线的方程是_________.

12．一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则__________．

13．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.

（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

（2）为使直线l经过第一、三、四象限，求a的取值范围．

14．求满足下列条件的直线的方程：

（1）直线经过点，并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，求直线的方程；

（2）直线过点，并且在轴上的截距是轴上截距的，求直线的方程.

15．已知的三个顶点分别为是，，.

（1）求边上的高所在的直线方程；

（2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

16．已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点.

（1）求面积的最小值及此时直线l的方程；

（2）求的最小值及此时直线l的方程.

变式拓展

1．【答案】A

【解析】如图所示：

直线的方程为或，即或．

3．【答案】

【解析】易知直线BC的方程为，由点A在直线BC上，得，故.

考点冲关

故选A.学#

5．【答案】B

【解析】因为直线l1:y=k(x−4)过定点(4,0),所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l2过定点(x,y),则,解得x=0,y=2.故直线l2过定点(0,2).

6．【答案】B

【解析】过

两点的直线的斜率，

直线的倾斜角为，解得或，当时，

重合，舍去，．故选B．

7．【答案】D

【解析】因为直线l2与x轴的交点为A（－2，0），所以，即，将其与联立可得，由题设，解得，故选D.

【名师点睛】解答本题的关键是借助题设中提供的图象及函数的解析式联立方程组求出交点坐标，借助点的位置建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解.

8．【答案】B

【名师点睛】本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，属于简单题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.结合函数的图象，求出线段端点与点连线的斜率，从而求出斜率的范围即可.

9．【答案】

【解析】直线的倾斜角为，且，直线的斜率的取值范围是或，或，直线的斜率的取值范围是．

10．【答案】

【名师点睛】本题考查直线的各种方程间的互化以及直线中的系数求法，求斜率就要化简为斜截式，求截距就令或，要熟练掌握直线方程的不同形式所对应的不同已知条件，注意各种形式下的限制条件.

11．【答案】

学@

【解析】设，由，可得，

则，由截距式可得直线方程为，即，故答案为.

【名师点睛】本题主要考查向量相等的性质以及直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜率是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.

12．【答案】

【解析】（1）设线段的中点为，则点，则对折后,对折直线l的方程为;设直线

的方程为，点在直线上，，则直线的方程为;设直线与直线的交点为则解方程组得.即，则，.

13．【答案】（1）见解析；（2）a>3.

【名师点睛】有关直线过定点的求法：当直线方程含有参数时，把含参数的项放在一起，不含参数的项放在一起，分别令其为零，可求出直线过定点的坐标；直线l经过第一、三、四象限，只需斜率为正，截距为负，列出不等式组解出a的范围.

14．【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）设直线的倾斜角为，则，

，

直线的斜率为，

又直线经过点，

直线的方程为：，即.

（2）若直线在两坐标轴上的截距均不为0，设直线在轴上的截距为（），则直线在轴上的截距为，可设：（），将点代入，得，

直线：，即，

若直线在两坐标轴上的截距均为0，由直线过点，可得直线方程为.

直线的方程是:或.

【名师点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.

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倾斜角与斜率范文第3篇

）

[分析]本题错误的原因是把直线l的倾斜角介于CA、CB的倾斜角之间和斜率介于二者之间混为一谈，没注意到倾斜角为90°的跨越，如图，直线l是一组绕点C转动而成的直线系，点A、点B是它的两个极端位置，直线l在以CB的位置逆时针转动到CA位置的过程中，倾斜角由锐角逐渐增大到90°，再到钝角 ，其斜率则从tan 逐渐增大到+∞，又从-∞逐渐增大到tan 。

正解：同错解

l的斜率的范围是（-∞， ）∪（ ，+∞）

例2：已知直线l1： 和直线l2：

试判断当l1与l2平行时，m的取值

错解：由l1∥l2得

解得m=-4，且当m=-4时

所以m=-4符合题意

分析：两直线平行，则斜率相等或不存在，错解原因是忽略了斜率不存在时两直线平行情况。

正解：当l1和l2的斜率都不存在时

由 解得m=3

此时l1： ，l2：

显然l1∥l2

当l1和l2都有斜率时，同错解

综上可知：当m=3和m= 时，l1∥l2

点评：运用斜率来处理两直线平行时，要紧紧抓住k1，k2，b1，b2之间关系，需对直线有斜率和斜率不存在两种情况分别解答，否则会使解题出现漏解，掉入斜率“陷井”。

例3：已知圆C的方程为

求与圆C相切，且过A（1，-2）点的直线方程。

解：错解：易知圆C方程为

设直线斜率为k，又直线过A（1，-2）

其方程为y+2=k（x-1）即kx-y-2-k=0

由题知圆心（2，1）到直线kx-y-2-k=0距离为半径，即 k=

直线方程为 ，即4x-3y-10=0

[分析]易知点A在圆C外。很明显，过A作圆C的切线应该有两条，本题出现漏解，漏掉了斜率不存在时的情况。

正解：若斜率不存在，则过点A的直线方程为x=1，圆心C到x=1的距离恰为1，即d=r，此时直线x=1正好与圆C相切。

若斜率存在，同错解。

综上，直线方程为x=1或4x-3y-10=0

例4：已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于点P、Q两点，M是PQ的中点，当PQ= 时，求直线l的方程

解：错解：设直线l的斜率为k，又l过A点

方程为y=k（x+1） 即kx-y+k=0

由题知

又

直线方程为4x-3y+4=0

[分析]这是一道很好的综合题，包含了丰富的内容。错误原因是丢掉了斜率不存在时的相关情况，因此出现了漏解。

正解：若斜率不存在，则直线方程为l：x=-1，圆心C到l的距离为1，即d=1

此时弦PQ= ，完全符合题意。

若斜率存在，设为k，以下同错解。

倾斜角与斜率范文第4篇

【关键词】直线和圆 教材分析 教学建议

本章分为以下几个部分：两点间距离公式及中点公式、直线的倾斜角和斜率以及直线的方程、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式、圆的方程以及直线与圆的位置关系、直线与圆的方程的实际应用。

本章在内容的选择及呈现方式上与以往的处理有所不同。其一，通过观察和探究一些生活现象或数学问题，使学生初步了解和认识本章的概念或内容要点；其二，初步涉及一些线段或圆弧（半圆）的图形与方程，使学生在数形结合的过程中，对函数与方程的关系、方程与方程的关系等有进一步的认识。下面，笔者对本章的教学内容分节给出在学习准备、探究、教学过程及例题处理等方面具体的教学建议。

（一）8.1两点间距离公式和中点公式（2课时）

本节的学习是在向量的差、模、数量积等知识的基础上进行的。

两点间的距离由两点的位置确定，也就是由两点的坐标确定。运用两点间的距离公式计算时，必须用相应坐标作差，再求它们的平方和，最后再求其算术根。结果的根式一般要求化成最简。在解决实际问题时，先要建立坐标系，找到这两点的坐标，再利用两点间的距离公式。

在教学中点坐标公式时，可以尝试小组合作讨论法：请学习小组的同学们在坐标系内取两点，查得它们的坐标，再找到联结这两点的线段的中点，再查中点的坐标，通过小组合作探索中点坐标与两个端点坐标的关系。由此加深对中点坐标由两个端点的坐标确定的理解，即：线段中点的坐标是两个端点相应坐标和的一半。

（二）8.2直线的倾斜角和斜率（1课时）

教学本节内容时，可先组织同学回忆坡度的概念：坡度=升高量/前进量。以及正切的定义：点P（x，y）是角α终边上的任意一点，则tanα=y/x（α≠kπ+π/2，k∈Z）。

接着可通过小组合作的形式探索确定一条直线的办法。了解除了两点能确定一条直线外，已知直线过某个点的情况下，如果再知道直线的倾斜程度，也能确定直线。至此，就可以很自然地来研究直线的倾斜程度，直线的倾斜程度可以根据它与x轴相交的角来规定：一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫作这条直线的倾斜角（与x轴平行或重合的直线的倾斜角规定为0°）。这个规定自然、清楚、易接受，但角的大小运算起来很不方便，为此，继续规定：倾斜角α的正切叫作这条直线的斜率，即k=tanα（α≠90°）。但是，这个规定还是涉及角，应用起来还是很困难。进一步探索，又得到：过两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）（x2≠x1）的直线的斜率k=y2-y1/x2-x1（x2≠x1）。

从教材表8-1中，我们可以得到：倾斜角为锐角时，直线的斜率为正；倾斜角为钝角时，直线的斜率为负；倾斜角为零度时，直线的斜率为零；倾斜角为直角时，直线的斜率不存在。

（三）8.3直线的方程（3课时）

先可以组织学生复习一次函数y=kx+b及其图像，再通过小组合作的形式探讨：已知一条直线上一点的坐标和斜率，这条直线上其他点的坐标是否满足同一个方程？通过讨论让学生了解到在已知一条直线上一点的坐标和斜率，设出其他任一点的坐标后，就可应用斜率公式得到它们满足的一个方程。由此进一步就能得到已知直线上的一点P（x1，y1）和斜率k，直线的方程是y-y1=k（x-x1）（直线的点斜式方程）。

通过例1的学习，让学生认识到若已知直线上一点的坐标和斜率，就直接代入直线的点斜式方程；若已知直线上一点的坐标和直线的倾斜角，要先求倾斜角的正切，得到直线的斜率，再代入直线的点斜式方程。通过例2的学习，要让学生了解到直线的点斜式方程存在的前提是直线要有斜率，也就是其倾斜角不为直角。对于平行于y轴的直线，就不能用点斜式方程。

教材P74的“探究”中给出“直线在y轴上的截距”的规定，教学中为了方便，也称其为“纵截距”。需特别引起同学们注意的是，所谓“纵截距”，是指一个点（直线与y轴的交点）的纵坐标，因此，截距可以是正的、负的，也可以是0。引入了这一概念后，就得到斜率为k，在y轴上的截距为b的直线方程为y=kx+b（直线的斜截式方程）。

直线的斜截式方程实际是直线的点斜式方程的特殊情况，只不过斜截式方程中直线上的已知点必须是直线与y轴的交点，正因如此，其形式也较简单，满足其条件直接应用就比较方便。反之，在已知了直线的斜截式方程后，就能立即看出直线的斜率和直线在y轴上的截距，从而就可知道直线的位置及走向。

在本节第3课时开始时，可引导学生通过小组合作的形式讨论直线的点斜式方程和斜截式方程是否都可以化为左边是关于x、y的二元一次多项式，右边为0的方程。对于已知了直线的一般式方程，要求直线的斜率和直线在y轴上的截距的问题，只需把直线的一般式方程化为斜截式，也就是方程左边为y，右边为关于x的一次多项式，这样，x的系数就是直线的斜率，常数项就是直线在y轴上的截距。

学习了例题后，启发学生掌握直线方程的三种形式：直线的点斜式方程、直线的斜截式方程和直线的一般式方程，讨论分析它们的异同、各自的特点和用处，达成共识。

（四）8.4两条直线的位置关系（3课时）

在通过适当途径引入本节课后，可以请同学们按小组合作的形式讨论在已知两条直线方程的情况下，怎样求出这两条直线的交点的坐标。

由P79的“思考交流”可知，如果由两条直线的方程组成的方程组有唯一的解，那么这两条直线的位置关系就是相交；如果有无数解，那么这两条直线的位置关系就是重合；如果无解，那么这两条直线的位置关系就是平行。

须注意的是，本知识点应达到的要求是掌握。一方面，要让学生理解要求两条直线的交点，只需解由这两条直线的方程组成的方程组。另一方面，让学生比较熟练地通过解方程组求出交点的坐标。对于方程组无解或有无数解，适当了解即可。

进入第2课时，可以请学生按小组合作的形式研究平面直角坐标系内两条平行直线的倾斜角及斜率的关系。分析总结得出：当两条直线都有斜率时，如果它们互相平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，并且它们的纵截距不等，那么它们互相平行。

在第3课开始，可以请学生仿照两直线平行的条件按小组合作的形式研究两条直线垂直的倾斜角及斜率的关系。在教师的引导下得出：当两条直线都有斜率时，如果它们互相垂直，那么它们斜率的乘积为-1；反之，如果它们斜率的乘积为-1，那么它们互相垂直。

在已知两条直线方程的情况下，要判断两条直线的位置关系，一般是先求出它们的斜率。如果斜率相等，并且它们的纵截距不相等，那么它们平行；如果斜率不等，看它们的乘积是否等于-1，如乘积是-1，就互相垂直，如果乘积不是-1，就是既不平行又不垂直。以上研究两直线垂直的条件，都是假定两直线的斜率都存在的。

（五）8.5点到直线的距离公式（1课时）

首先要复习一下两点间的距离公式。再请同学们以小组合作的形式探究如何求一个已知点到一条已知直线的距离。解决点到直线的距离问题，基本方法就是将此问题化归为求点到点的距离问题。

本教材通过具体的一个问题揭示推导点到直线距离公式的一种思路，对公式的具体推导不作要求。运用点到直线的距离公式时，直线的方程必须是一般式。

对于两条平行直线间距离的问题，本教材是通过在“思考交流”中求两条具体的平行直线间的距离来解决的，主要是让学生体会化归思想，能认识到线线距离可以化归为点线距离。对于参加对口单招的学生或是五年制高职的学生，可以引导他们探究出两条平行直线间的距离公式。

（六）8.6圆的方程（3课时）

首先组织学生复习圆的定义和两点间的距离公式。再请同学们按小组合作的形式仿照在坐标系内建立直线方程的方法探讨如何求圆的方程（注意紧扣圆的定义）。

圆上任意一点到圆心的距离是定值――圆的半径；反之，到圆心的距离等于半径的点一定在圆上。紧扣圆的本质特征就不难得到圆的标准方程。再启发学生考察圆的标准方程，实际涉及三个量：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径。在标准方程中要注意等号左边的括号里是“-”，等号右边是平方的形式。要求学生能由圆的标准方程看出圆心的坐标和圆的半径；反过来，有了圆心坐标和半径，要能写出圆的标准方程。

在第2课时开始，可请同学们仿照探讨直线方程的一般式来求圆的一般方程。对于给定方程要判断是否是圆的方程，只需验证D2+E2-4F是否大于0。如果是，套用公式就能得到圆心坐标和半径。如不直接套用公式，也可通过配方把方程的形式化为圆的标准方程。在这里老师最好针对一个具体例子复习一下配方的方法。相当部分中职学生对配方法掌握得并不好，况且已有很长时间没有接触到配方了。

（七）8.7直线与圆的位置关系（3课时）

本节开始要组织学生复习平面几何中圆的有关切线和弦长的问题，以及判断直线和圆的位置关系的方法。

直线与圆有三种位置关系，关键是看圆心到直线的距离与半径的大小关系。从形的方面来判断直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离小于半径，直线就和圆相交；等于半径，直线就和圆相切；大于半径，直线就和圆相离。从数的方面来判断，看直线方程和圆的方程组成的方程组的解，有两解，就是相交；只有一解，就是相切；无解，就是相离。因此，若已知直线和圆的方程，要判断它们的位置关系，通常是比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系。

在第2课时，可以先组织学生复习平面几何中圆切线的性质以及互相垂直的直线斜率的关系。

对于例3的处理，在开始计算之前，可让学生试着画出满足题意的草图，我们通过画图就能判断满足题意的圆应该有两个：因为直线是定直线，圆的半径是4，其圆心坐标是（0，b）。

例4中原点正好就在已知圆上。因此，过原点的圆的切线就只有一条。例5也是求过圆上一点的圆的切线，也只有一条。要求切线的方程，还需求出该切线的斜率。由平面几何的知识可知，该切线垂直于过切点的半径所在的直线。因此，只需求出这条半径所在直线的斜率，其负倒数就是所求切线的斜率。

学习例6时，要组织同学们复习一下平面几何中圆的弦与过该弦的中点的直径的关系。对于圆的弦来说，它与过该弦的中点的直径垂直，因此，就能形成直角三角形，根据勾股定理，就能在已知半径、弦心距的情况下，求出弦长的一半，最终求出弦长。

（八）8.8直线与圆的方程的实际应用（2课时）

通过本节的学习，要求学生能够解决简单的直线与圆的实际问题，能根据半圆的方程画出图形，进而培养学生主动运用数学知识解决实际问题的能力。

例1是个实际问题，本题考虑到图形的对称性，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴比较合适。此时，就有了圆上三点的坐标，运用圆的一般方程运算比较方便。有了圆的方程，可以得到P2点的纵坐标，就能知道支柱A2P2的长度。

学习例2时，要对算术根的意义进行适时复习。 本题的方程中含有根号，自然能想到两边平方。但平方后的方程与原方程并非等价方程了，学生不一定能理解这里边的道理，但可指出：由于原方程的右边是算术根，因此，其左边也必须为非负数，即x-3≥0，此为正确解决本题的关键。

倾斜角与斜率范文第5篇

图1如图1所示，AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P.两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2.求证：|PA|・|PB|=|PC|・|PD|.

笔者在探究此例题的解答思路时，看到|PA|・|PB|=|PC|・|PD|非常像圆的相交弦定理，由此想到，若A，B，C，D四点共圆， 则|PA|・|PB|=|PC|・|PD|.进一步思考，又看到∠1，π-∠2分别是直线AB，CD的倾斜角.再结合课本中给出的此例题的解答，通过计算可知，如图1，若A，B，C，D四点共圆，那么∠1+（π-∠2）=π，即直线AB与直线CD的倾斜角互补，由此得，直线AB与直线CD的斜率互为相反数.再进一步深入探究，发现如下神奇圆锥曲线的三个美妙结论.

结论1如果一个椭圆与一个圆相交于A，B，C，D四点，那么四边形ABCD的对边所在的直线的斜率互为相反数，两条对角线的斜率互为相反数.

证明不妨设椭圆的方程为

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.①

若圆的圆心在原点O，如图2，则由椭圆和圆的对称性可知，四边形ABCD是矩形，从而直线AD，BC的斜率都不存在，直线AB，DC的斜率都为O，直线AC与直线BD的斜率互为相反数.

图2图3若圆的圆心不在原点O，如图3.

下面证明直线AD与直线BC的斜率互为相反数.

设直线AD与直线BC交于点P，设P（x0，y0），设直线AD，BC的倾斜角分别为α，β，则直线AD的参数方程为

直线AD与直线BC的斜率都不存在.

若α=π-β，则直线AD与直线BC的斜率互为相反数.

证明直线AB与直线CD的斜率互为相反数，直线AC与直线BD的斜率互为相反数的方法仿上述证明直线AD与直线BC的斜率互为相反数，证明过程略.

结论2如果一个双曲线与一个圆相交于A，B，C，D四点，那么四边形ABCD的对边所在的直线的斜率互为相反数，两条对角线的斜率互为相反数.

结论3如果一条抛物线与一个圆相交于A，B，C，D四点，那么四边形ABCD的对边所在的直线的斜率互为相反数，两条对角线的斜率互为相反数.

结论2、结论3的证法仿上述结论1，在这里略.