多边形内角和范文第1篇

在学生已经学完三角形的内角和，对三角形的问题有了一定的认识基础上，探索多边形相关知识，是对三角形认识的一种升华，也是学生学习方法的一种实践。从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强。整个探索过程强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力。

1. 多边形内角和的证明方法 探索多边形内角和运用类推的方法，以三角形知识为基础，推导、归纳出四边形、五边形，……，n边形的内角和。

方法一：如图1：在四边形ABCD中，从某一顶点出发，连接对角线AC，把四边形分割成2个三角形，那么四边形的内角和是2×180°=360°。同理可得，五边形内角和为3×180°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。

方法二：如图2，在四边形ABCD中，过一边上任一点（除顶点）E，连接AE，DE，把四边形分割成3个三角形，而∠BEC=180°，四边形内角和为3×180°-180°=360°，同理可得，五边形内角和为4×180°-180°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。

方法三：如图3，在四边形ABCD中，过四边形内任一点E，连接AE，BE，CE，DE，把四边形分割成4个三角形，点E处形成一个周角，四边形内角和为4×180°-360°=360°，同理可得，五边形内角和为5×180°-360°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。

方法四：如图4，在四边形ABCD中，分别延长AD，BC至点E， 在三角形ABE中，∠A+∠B=180°-∠E；在三角形DCE中，∠EDC+∠ECD=180°-∠E，即∠A+∠B=∠EDC+∠ECD，而∠EDC+∠ECD+∠ADC+∠BCD=2×180°，即∠A+∠B+∠ADC+∠BCD=2×180°所以四边形内角和为2×180°=360°，同理可得，五边形内角和为3×180°=540°，……，n边形内角和为（n-2）. 180°。

多边形的内角和的证明能积极挖掘学生探从不同角度分析和解决问题，并有助于提升学生推理、归纳能力。

2. 多边形内角和公式的应用 多边形内角和等于（n-2）·180°（其中n为多边形的边数），任何多边形的外角和都等于360°，借助这两个结论可顺利解决如下问题：

2.1 求多边形的内角和。例1：十二边形的内角和是多少？

分析：直接应用n边形内角和公式

（12-2）×180°=1800°

变式：已知一个多边形，从其中一个顶点连对角线，可以将多边形分成8个三角形，求该多边形的内角和。

解：对于多边形，从一个顶点引对角线可将多边形分成（n-2）个三角形（n为多边形的边数），所以这个多边形是十边形，根据多边形内角和公式可知，这个多边形的内角和为（10-2）·180°=1440°.

2.2 求多边形内角的度数。 例2：已知一个五边形的五个内角的度数之比是13：11：9：7：5，求这五个内角中的最大角与最小角。

解：由于这个五边形的五个内角的度数之比是13：11：9：7：5，所以可设五个内角的度数为13x，11x，9x，7x，5x.根据多边形内角和公式可知，五边形的内角和为（5-2）·180°=540°，即13x+11x+9x+7x+5x=540，解得x=12，所以13x=156，5x=60，即最大角为156°，最小角为60°。

2.3 求多边形的边数。 例3：一个多边形的内角和是1260°， 它是几边形？

分析：有n边形内角和公式得：（n-2）×180=1260， n-2=7， n=9

变式一：一个多边形的各个内角为120°， 它是几边形？

分析：由于各个内角都为120°，那么它的内角和为120°n，根据内角和公式的（n-2）×180=120n，得n=12。

变式二：多边形的一个外角与该多边形内角和的总和为600°，求此多边形的边数。

解：设多边形的边数为n，此外角为x.根据题意，得（n-2）·180+x=600，即（n-2）·180=600-x.因为（n-2）·180是180的倍数，所以600-x也是180的倍数，所以x=60，从而n=5，即此多边形的边数为5.

变式三：在求一个正多边形的内角的度数时，求出的值是145°. 请问他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，说明理由。

分析：我们知道这道题是在问是否存在一个正多边形，它的内角和为145°.如果存在，那么这个正多边形的每个外角应180°-145°=35°. 由于正多边形的所有外角也都相等，设这个多边形为n边形，则有n×35=360，而满足上述等式的n的值不是整数，所以这样的正多边形不存在，那么一定是小明计算有误。

解：假设小明计算正确，设这个正多边形是正n边形，n为整数。

因为正多边形的所有外角都相等，且它们的和是360°。

所以（180-145）×n=360。

即35×n=360.所以 n= 727

这与n是整数相矛盾

所以不存在内角是145°的正多边形.小明计算不正确。

变式四：已知一个多边形除一个内角外的其余内角的和是2008°，求这个多边形的边数及这个内角的度数。

分析：本题借助于多边形的内角和一定能被180°整除，由于多边形的每个内角都在0°到180°之间，故去除一个内角后其余内角和为2008°，肯定不能被180°整除.只要用2008°÷180°观察其余数，与这个余数互补的角就是所要求的这个内角的度数.即用180°减去余数后所得的角就是所求内角的度数，有了它，多边形的边数将迎刃而解。

解：2008°÷180°=11……28°，180°-28°=152°.故这个内角的度数是152°。从而可知这个多边形内角和为2160°.所以这个多边形的边数为14。

多边形内角和范文第2篇

尊敬的各位领导，老师大家好！

由我为大家介绍我们工作坊团队成员共同设计的《多边形的内角和》一课。我将从教材思考、学生调研、教学目标完善、教学过程设计等方面进行汇报。

（一）教材思考:

《多边形的内角和》是冀教版小学数学四年级下册第九单元探索乐园的第1课时，本单元要求是“在问题探索中，促进数学思维发展”。实现“不同的人在数学上得到不同的发展”是《数学课程标准》的基本理念，“发展合情推理和演绎推理能力”“清晰地表达自己的想法”“学会独立思考、体会数学的基本思想和思维方式”是课程标准关于数学思考方面的具体要求。

教材安排了两个例题，一是探究多边形边数与分割的三角形个数的规律，二在分割三角形的基础上探索多边形内角和。为了促进学生思考的连续性与有序性，我们将教材中的两个例题进行有机结合，在充分研究四边形五边形内角和方法的基础上提出如何得出任意多边形内角和问题，为发展学生的数学思维提供素材、创造探索的空间，让学生充分体会“画线段—分割三角形—求内角和”这样一个连续推理归纳得出规律的活动。

（二）学生调研及分析：

学生在本册第四单元认识了三角形、知道三角形内角和等于180度，会用字母表示数、字母表示数量关系的基础上进行学习的。我们团队的成员对所在学校四年级同学进行了调研，发现他们对于数学问题具有“猜想”的意识，但是缺乏理性的思考。他们愿意自己动手尝试探索研究问题，但是对于探索之后有序思考、归纳总结认识还不够全面。

有了以上分析，我们在尊重教材的基础上，确定了本节课教学目标，并对“过程与方法”目标进行了完善补充。

知识与技能：探索并了解多边形的边数与分割成的三角形个数，以及内角和之间隐含的规律;能运用多边形的内角和知识解决相关问题。

过程与方法：学生经历探索的全过程，积累探索和发现数学规律的经验，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，体会从特殊到一般的认识问题的方法，发展理性思考。

情感态度与价值观：让学生在参与活动的过程中获得探索规律解决问题的成功体验，产生对数学的好奇心,培养归纳概括和推理能力

教学重点:经历由具体的图形发现规律的过程，获得初步的数学建模活动经验，产生对数学的好奇心，培养推理能力

教学难点:字母表达式的总结

教学准备:教师准备三角形、四边形、五边形、六边形图片，裁纸刀，课件。

学生学具准备四边形、五边形等多边形图片模型，三角板。

教学过程共分为四个环节。

教学过程:

一、创设情境，回顾三角形知识---注重知识的“生长点”

同学们请看这是什么图形？你了解它吗? 你能向大家介绍三角形哪些知识?( 这样设计意图是注尊重学生已有知识经验，体会数学知识的内在联系，重点认识三角形内角的含义及三角形内角和是180度的特点）

我们知道了三角形内角和是180度，那么四边形，五边形的内角和是多少度呢？这节课我们就一起来研究。

二、自主合作，探究新知—注重“数学算法的优化”共设计了三个探究活动。

1、四边形内角和

（1）有同学愿意猜想四边形内角和吗？猜想也要有根据，你能说说你的根据吗？（引导学生体会理性思考）

有没有同学一看到四边形就马上想到360度呢？你是根据哪个图形直接想到的？（让学生借助已有的长方形、正方形知识进行理性推理，打通新旧知识之间联系）

我们通过计算长方形、正方形的内角和是360度，是不是能说明所有四边形内角和都是360度？（引导学生体会这是一种“假设”因为它是特殊图形中做的成“猜想”）

我们需要研究怎样的图形才能发现它们一般的特征和规律？（任意四边形）

（2）小组活动，利用学具中的任意四边形想办法计算内角和。师巡视（注意学生不同的方法）

（3）学生汇报。可能有计算法，引导学生起名字“量角求和法”

撕角法，起名字“拼角求和法”。

切割法1，起名字“一分为二求和法”（学生演示这种方法时，教师帮忙切割，强调弄清楚四个内角怎样变成六个角，分成了几个三角形，一是画了一条线段，二是分成了二个三角形）

切割法2，起名字“一分为四求和法”180*4=720度，讨论这种方法的问题，怎样用这种方法计算四边形内角和是360度

归纳总结：四边形内角和是360度。（通过不同的个性方法，验证四边形内角和，进一步认识内角含义，感受不同算法的好处）

2、五边形内角和

今天的研究我们就停在这里吗？根据经验，我们要向什么挑战？（五边形）你能猜想它是多少度吗？请你选择一种方法，证实你的猜想。

总结：看来数学的方法有很多，但是有的方法有局限性，有的方法只适合三角形和四边形，量角有误差，拼角法有的会超过360度，而第三种看起来最简便。我们称之为“优化法”

列出算式：180*3=540度（学生不仅在计算度数上有了经验，而且在计算方法上也有了经验）

利用这种最优的方法，同桌同学互相说一说，四边形和五边形各画了几条线段，分割成几个三角形,怎样求内角和？（设计意图是让学生对探究过程进行归纳整理，为进一步有序的研究其他图形指明研究方向。）

现在我们就来看一看其他图形是不是也有这样的规律？

3、六边形、七边形内角和

小组合作，自己完成探究过程，填写表格。

多边形的边数（条）

4

5

6

7

······

n

画出的线段条数（条）

1

三角形个数（个）

2

多边形内角和

180*2=360

学生汇报，总结画出的线段数和三角形个数之间联系。

三、归纳总结，形成规律---注重字母表达式的推理

通过大家的研究，找到了规律，请问10边形，能画几条线段，分成几个三角形？

90边形？100边形？n边形呢？（老师说我们研究三角形的个数，怎么去找边数的呢？学生说分割出的三角形的个数跟边数有关。那一千边形形，n边形呢?n-2得到的是什么?得到分成的三角形的个数。）

四、课堂总结，拓展延伸---注重数学思想方法的形成

多边形内角和范文第3篇

1、 四边形内角和是360°。

2、由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形，由凸四边形和凹四边形组成。顺次连接任意四边形上的中点所得四边形叫中点四边形，中点四边形都是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形，矩形中点四边形是菱形，等腰梯形的中点四边形是菱形，正方形中点四边形就是正方形。

（来源：文章屋网 ）

多边形内角和范文第4篇

课标课程要求教师在教学时要关注学生的体验，给学生足够的时间和空间去经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等数学活动，使其经历知识的发生、发展过程.教学活动中，教师要激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.

2 案例背景

2013年暑假，我参加华侨大学团委组织的“积石成山、点亮梦想”暑期爱心支教活动，到甘肃省临夏州积石山县进行支教.本节课《多边形的内角和》是支教期间上的一节课，学生所用的教材是新课标人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级（下册），内容是《§7.3.2 多边形的内角和》（第1课时）.本节课在教材中起着承上启下的作用，学生要应用前面所学过的“三角形的内角和定理”来学习求“多边形的内角和”，为后面“平面镶嵌”的学习做准备，环环相扣、层层递进，适合学生的认知特点，易于激发学生学习的兴趣.在探究“多边形内角和公式”的过程中，我鼓励学生尝试从不同的角度去寻求解决问题的方法，通过把多边形转化为三角形，培养学生分析问题、解决问题的能力，逐步渗透数学的转化思想

3 学情分析

积石山县是甘肃省唯一一个拥有保安族、撒拉族、东乡族、土族、回族等10个少数民族的自治县，受支教班级的学生来自六个不同的少数民族，学生的学习水平参差不齐.为了使不同程度的学生在数学上都有所发展，我注重引导学生做学习的主人，通过自主探索、合作交流、师生互动等活动，培养学生的创新意识，激发他们的学习兴趣.

4 教学片段实录

教师：大家请看我手中的的实物分别是什么？（微笑）（3n≥，且n是正整数）

学生：六螺帽、八角石英钟、五边形水果盘.

教师：那么，大家知道五边形、六边形、八边形的内角和分别是多少度吗？

学生1：三角形的内角和是180d，正方形、长方形的内角和是360d，四边形的内角和有可能是360d，至于其它的多边形嘛……（思考中）

教师：今天我们一起来探讨任意多边形的内角和与它的边数之间的关系.学了这节课之后，上面的问题就迎刃而解了.

教师：首先我们来探讨一下任意四边形的内角和.请同学们任意画一个四边形，量一量它的四个内角，算一算它们的和，验证一下它们的内角和是否真的就是360d.（给学生足够的时间）

（学生迅速地从文具盒中取出直尺、量角器，画图、测量四边形的四个内角，并计算它们的和）

学生2：（测量法）我画的四边形，测量出它们的内角和是360d……（兴奋、喜悦中）.

学生3：（拼图法）（拿出准备好的四边形纸卡纸，标上字母，然后把其中的三个内角剪下，拼到最后一个内角上）我的也是360d……

众生：我们发现所画的任意四边形的内角和都是360d……

教师：同学们积极动手、动脑 ，通过测量、计算、拼图等方法归纳得出任意四边形的内角和都是360°，很好.测量法容易引起误差，拼图法有一定的局限性，而数学是一门严谨的学科，接下来问大家，能否用说理的方法，推导验证这个结论是成立的呢？下面请同学们四人一小组，来共同探讨，寻找解决问题的办法.相信大家一定行，加油！

学生：（激烈讨论）……（困惑）

教师：（点拨）三角形的内角和是180°，而360°=180°2×，大家能利用三角形内角和定理来证明任意四边形的内角和等于360°呢？

学生4：关键在于把四边形转化为三角形.

教师：非常好！说到了点子上！各小组讨论后，选派代表说出你们的推理方法.（学生组内讨论，教师适时点拨引导）

教师：哪位同学能将这些验证方法进行归纳、分类呢？试试看哦.

学生11：①测量法；②拼图法；③转化法；（构造三角形、同旁内角、平角）

教师：大家分析得都非常好！老师为你们的勤奋好学感到骄傲！（同学们开心地鼓掌）同学们觉得哪位同学的方法推理更方便简单呢？

学生：……

学生12：学生5的方法（同学们目光投向他所在的第1小组，并报以热烈的掌声）比较容易理解，很方便.

教师：（给予肯定）第1小组的做法是从四边形的一个顶点出发，引了一条对角线，把四边形转化为两个三角形，借助于三角形内角和定理，得出任意四边形的内角和为360°.那么五边形、六边形等任意多边形的内角和，能用类似的方法解决吗？下面请同学们分组讨论，相信大家能顺利完成下列表格.

学生：（通过讨论交流，填写完成下表）

教师：很好！请同学们思考以下三个问题：

①多边形内角和与三角形内角和的关系？

②多边形的边数与内角和的关系？

③从多边形一个顶点引的对角线分三角形的条数与多边形边数的关系？

（鼓励学生从具体到抽象，分析问题的本质，有意识地培养学生的逻辑思维）

学生结合思考题进行讨论，并把讨论后的结果进行交流.

发现1：四边形内角和是（4-2）个180d的和，五边形内角和是（5-2）个180d的和，六边形内角和是（6-2）个180d的和，七边形内角和是（7-2）个180d的和，八边形内角和是（8-2）个180d的和，n边形内角和是（2）n？个180d的和.

发现2：多边形的边数增加1，内角和增加180d.

发现3：从五边形的一个顶点出发，可以引（5-3）条对角线，将五边形分成（5-2）个三角形， 从六边形的一个顶点出发，可以引（6-3）条对角线，将六边形分成（6-2）个三角形， 从n边形的一个顶点出发，可以引（3）n？条对角线，将n边形分成（2）n？个三角形.

师生：（共同得出结论）n边形的内角和公式：（2） 180n？？d（3n≥，且n是正整数）

……

5 教学反思

（1）本节课，注重知识的生成过程，落实启发式教学.教学中， 学生有充足的时间、空间去自主探索、合作交流，通过“测量、计算、拼图”得出四边形的内角和是360°，然后通过一些辅助线：连对角线、在四边形内部找点、在四边形的边上找点、在四边形的外部找点、作平行线等，来构造三角形、平角、同旁内角，借助于“三角形内角和定理”、“1平角等于180°”、“两直线平行，同旁内角互补”生成“任意四边形的内角和等于360°，进而借助于连结对角线将多边形转化为三角形，最终生成出n边形的内角和等于（2） 180n？？d（3n≥，且n是正整数）..

多边形内角和范文第5篇

[关键词] 正多边形；镶嵌

探索一种正多边形的镶嵌问题

能够镶嵌的条件之一是，拼接点处的几个角的和为360°，用单一正多边形进行镶嵌时，应满足360°是该正多边形每一个内角的整数倍，因此，正三角形、正四边形、正六边形均能镶嵌平面.

例1 下列正多边形中，不能铺满地面的是（ ）

A. 正三角形

B. 正四边形

C. 正五边形

D. 正六边形

解析：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的每一个内角分别是60°、90°、108°、120°，显然，360°是60°、90°、120°的整数倍，不是108°的整数倍，所以正三角形、正四边形、正六边形能够铺满地面，而正五边形不能铺满地面，答案为C.

探索两种正多边形的镶嵌问题

解答两种正多边形的镶嵌问题，只要判断是否存在正整数x和y，使其中一种正多边形的每个内角α的x倍与另一种正多边形每个内角β的y倍的和等于360°即可. 例如，用正三角形和正六边形的组合进行镶嵌，设在一个顶点周围有m个正三角形的角，有n个正六边形的角，由于正三角形的每一个内角是60°，正六边形的每一个内角是120°，所以有m・60°+n・120°=360°，即m+2n=6. 这个方程的正整数解是m=4，n=1或m=2，n=2.

？摇可见，用正三角形和正六边形镶嵌时，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形.

因此，根据以上探索两种正多边形进行平面镶嵌时有以下六种情形：①1个正三角形，2个正十二边形；②2个正三角形，2个正六边形；③3个正三角形，2个正四边形；④4个正三角形，1个正六边形；⑤1个正四边形，2个正八边形；⑥2个正五边形，1个正十边形，图略.

例2 小明家准备选用两种形状的地板砖铺地，现在家中已有正六边形地板砖，下列形状的地板砖能与正六边形的地板砖共同使用的是（ ）

A. 正三角形

B. 正四边形

C. 正五边形

B. 正八边形