摘要：正确计算截面内力，快速绘制静定梁内力图十分重要，阐述了用简捷法作单跨静定梁的内力图的基本条件，并举例说明了内力图在集中力、集中力偶处的特点和规律，还强调了弯矩图中抛物线的开口方向以及控制截面的选择方法。

关键词：简捷法；剪力；剪力图；弯矩；弯矩图

梁的内力图绘制的目的是用图示方法形象地表示出剪力Q、弯矩M沿梁长变化的情况，绘制梁的内力图是材料力学教材中的一个重点和难点内容，熟练、正确地绘制内力图是材料力学的一项基本功，也是后续课程结构力学的基础。绘制梁内力图的方法有静力法、简捷法和叠加法，其中简捷法是利用剪力、弯矩和荷载集度之间的微分关系作图的一种简便方法，通常是用来确定梁的危险截面作为强度计算的依据，因此熟练掌握简捷法作梁的内力图是十分必要的。

1简捷法绘制单跨静定梁的内力图的基本要求

（1）能快速准确地计算单跨梁的支座反力（悬臂梁除外）

支座反力的正确与否直接影响内力的计算，因此在静力学的学习过程中要打好基础。

（2）能用简便方法求解指定截面的内力

1．1求剪力的简便方法

某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代数和，即Q=Y左侧外力（或）Y右侧外力

代数和中的符号为截面左侧向上的外力（或右侧向下的外力）使截面产生正的剪力，反之产生负剪力。（即外力左上右下为正）

1．2求弯矩的简便方法

某截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和，即M=Mc左侧外力（或Mc右侧外力）

代数和中的符号为截面的左边绕截面顺时针转的力矩或力偶矩（或右边绕截面逆时针转的力矩或力偶矩）使截面产生正的弯矩，反之产生负弯矩。（即外力矩或力偶矩左顺右逆为正）

1．3举例说明：求图1中1-1截面的剪力和弯矩

解：取左侧为研究对象，根据简便方法有：

Q1=25-5×4=5kNM1=25×2-5×4×2=10kN•m

验证：取右侧为研究对象，根据简便方法有：

Q=15-10=5kNM1=10×4-15×2=10kN•m

1.4能将梁正确分段，根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的形状，寻找控制面，算出各控制面的Q和M弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系如下：

dM(x)dx=Q(x)

dQ(x)dx=q(x)

d2M(x)dx2=q(x)

利用弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系及其几何意义，可总结出下列一些规律，用来校核或绘制梁的剪力图和弯矩图，其规律如下表所示：

注意：根据函数图线的几何意义，当q＞0（向上）时，弯矩图为开口向下的二次抛物线；反之q＜0（向下）一时，弯矩图为开口向上的二次抛物线，即抛物线的凹性和凸性和均布荷载的方向保持一致。

1.5能根据计算的各控制面的Q和M作图

作图时要求基线长度和梁的轴线等长，截面对应，纵标值、正负号、图名和单位缺一不可。

2应用举例

2.1用简捷法作图示梁的内力图(特点:无弯矩极值,有剪力突变)

RA=11kN（↑）RB=7kN（↑）

(2)根据梁上的荷载情况，将梁分为AC和BC两段

(3)计算控制截面的Q值

AC为均布荷载段，剪力图为斜直线，其控制截面剪力为

QA右=RA=11kNQc左=10-7=3kN

BC段为无荷载区段，剪力图为水平线，其控制截面剪力为

Qc右=RB=-7kN

画出剪力图如图2(b)所示

（4）计算控制截面弯矩，画弯矩图

AC为均布荷载段，由于q向下，弯矩图为凸向下的二次抛物线，该段中Q≠0,因此没有M极,其控制截面弯矩为

MA右=0MC左=RB×2=14kN•m

BC段为无荷载区段，弯矩图为斜直线，其控制截面弯矩为

MC右=RB×2=14kN•mMB左=0

画出弯矩图如图2(c)所示。

2.2用简捷法作图示梁的内力图(特点:有弯矩极值,有弯矩突变)

【解】（1）求支座反力

RA=6kN（↑）Rc=18kN（↑）

（2）根据梁上的荷载情况，将梁分为AB和BC两段

（3）计算控制截面剪力，画剪力图

AB段为无荷载区段，剪力图为水平线，其控制截面剪力为

QA右=RA=6kN

BC为均布荷载段，剪力图为斜直线，其控制截面剪力为

QB右=RA=6kN

QC左=-RC=-18kN

画出剪力图如图3(b)所示。

（4）计算控制截面弯矩，画弯矩图

AB段为无荷载区段，弯矩图为斜直线，其控制截面弯矩为

MA右=0

MB左=RA×2=12kN•m

BC为均布荷载段，由于q向下，弯矩图为凸向下的二次抛物线，其控制截面弯矩为

MB右=RA×2+Me=6×2=12=24kN•m

MC左=0

从剪力图可知，此段弯矩图中存在着极值，应该求出极值所在的截面位置及其大小。

设弯矩具有极值的截面距右端的距离为a，由该截面上剪力等于零的条件可求得a值，即

Q(x)=-Rc+qa=0

a=Rcq=186=3m

弯矩的极值为

Mmax=Rc•a-12qa2=18×3-6×322=27kN•m

画出弯矩图如图3(c)所示。

3结语

由以上两题可知：

（1）在集中力作用截面处，剪力图发生突变，突变的大小等于集中力的大小；

（2）在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图将发生突变，突变的大小等于集中力偶矩的大小；（3）若在梁的某一截面上剪力为零，即弯矩图在该点的斜率为零，则在该截面处弯矩存在极值。

参考文献

［1］沈养中,董平.材料力学［M］.北京:科教出版社,2002.

［2］孔七一.工程力学［M］.北京:人民交通出版社,2005.