奇函数乘以奇函数范文第1篇

知识的确是天空中伟大的太阳，它那万道光芒投下了生命，投下了力量。下面小编给大家分享一些高中数学函数知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!

高中数学函数知识点11.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2.复合函数

(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;

点击查看：高中数学知识点总结

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;

5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);

6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;

(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

8.判断对应是否为映射时，抓住两点：

(1)A中元素必须都有象且唯一;

(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：

(1)定义域上的单调函数必有反函数;

(2)奇函数的反函数也是奇函数;

(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

(4)周期函数不存在反函数;

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

(6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;

13.恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法;

(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解。

高中数学函数知识点2奇偶性

注图：(1)为奇函数(2)为偶函数

1.定义

一般地，对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2.奇偶函数图像的特征：

定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

点(x,y)(-x,-y)

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

(1) .两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2) .两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3) .一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4) .两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5) .两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6) .一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

定义域

(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，

(3)函数单调性法，

(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等

高中数学函数知识点3对数函数

对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1，0)这点。

(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

(5)显然对数函数无界。

指数函数

指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3) 函数图形都是下凹的。

(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

奇函数乘以奇函数范文第2篇

集合与函数口诀

内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数， 大1为增小为减。

函数定义域好求，分母不能等于0 ，偶次方根须非负，零和负数无对数；

正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称， Y ＝ X是对称轴；

求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，

奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。

三角函数口诀（一）

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；

中心记上数字 1 ，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，

变成锐角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；

1 加余弦想余弦， 1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；

三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；

利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。

三角函数口诀（二）

三角知识，自成体系，记忆口诀，一二三四。

一个定义，三角函数，两种制度，角度弧度。

三套公式，牢固记忆，同角诱导，加法定理。

同角公式，八个三组，平方关系，导数商数。

诱导公式，两类九组，象限定号，偶同奇余。

两角和差，欲求正弦，正余余正，符号同前。

两角和差，欲求余弦，余余正正，符号相反。

两角相等，倍角公式，逆向反推，半角极限。

加加减减，变量替换，积化和差，和奇互变。

不等式口诀

解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。

数列口诀

等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。

数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，

取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：

一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：

首先验证再假定，从K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。

导数记忆口诀

导数定义要分明，平均变化率记清，增量可正亦可负，但要牢记不为零。

某点导数若存在，函数这点必连续，导数为零请注意，未必都是极值点；

某点导数不存在，切线方程可出现，区间导数大于零，这个区间必递增，

反之不一定成立。可导奇函导为偶，可导偶函导为奇；导数加减分进行，

导数积商记分明，函数可导四者导，两个函数若不导，四者导否难说清。

常数导数记为零，正变余弦不变号，余变正弦前添负，高次导数要记清，

前添次数上减1 。自然对数导真倒，一般对数真倒前，对底不变真变e；

自然指数导不变，一般指数前不变，自然对数底作真，切线斜率几何意。

复数口诀

虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。

箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。

代数运算的实质，有i多项式运算。 i 的正整数次幂，四个数值周期现。

一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。

利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，

减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩变换模长短。

三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。

辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，

两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。

排列、组合、二项式定理口诀

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。

两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。

排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。

关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

立体几何口诀

点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。

垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。

立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。

异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。

平面解析几何口诀

有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。

笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者一一来对应，开创几何新途径。

两种思想相辉映，化归思想打前阵；都说待定系数法，实为方程组思想。

三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。

四件工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不能丢，旋转变换复数求。

解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。

思维体操口诀歌

世上事情多，总想弄明白。

勤做思维操，快乐常相伴。

第一看位置，前后与左右。

根据何而来，要往哪里去。

时间和空间，就是两条线。

目的和对象，分明是界限。

第二看尺度，平衡是关键。

快慢有节奏，松紧不能断。

条件会变化，它变我也变。

流水不争先，和谐是真言。

第三看层面，角度千千万。

里看外也看，眼光要常换。

登高能望远，秋毫也能见。

一层又一层，进出都自在。

第四看动机，矛盾是根源。

一分都为二，要好又要闹。

才有不平事，立刻起波澜。

前因有后果，解决靠实践。

第五看途径，办法有很多。

大处来着眼，小处要细算。

发散与聚合，顺逆都能得。

巧未必胜拙，胸中有主见。

天地有奥妙，万物皆循环。

思维常锻炼，只能算一半。

八风吹不动，意志坚如磐。

奇函数乘以奇函数范文第3篇

关键词：滤波器 Matlab 设计优化

1、引言

滤波器是一种具有频率选择性的电路，它具有区分输入信号的各种不同频率成分的功能。为综合一个滤波器电路，基本的步骤分为逼近和实现。逼近方法有巴特沃思逼近，切比雪夫逼近，椭圆逼近和贝塞尔逼近。这些逼近方法可直接用于低通滤波器综合，而对于高通、带通和带阻滤波器综合，要借助于频带变换。

传统的设计方法是由给定的设计要求选用相应的逼近方法，手动计算滤波器的阶数N或查相应的设计图表（例如切比雪夫设计图表）确定阶数N；查转移函数表（如巴特沃思转移函数表，切比雪夫转移函数表）来确定转移函数。另外对于一个复杂的传递函数手工分解为各个二次阶或一次阶的乘积是相当困难的。本文借助Matlab所提供的滤波器的逼近方法由程序来求解阶数N和转移函数，并对转移函数进行分解，以达到设计的要求。

2、设计思路与方法

（1）根据要设计滤波器的要求，借助Matlab对滤波器进行分析，确定采用的逼近方法，计算滤波器阶数，确定零极点和传递函数。

（2）对滤波器传递函数进行优化。由Matlab得出的传递函数其系数不是整数量，因此要以滤波器的系数为优化变量，使得设计出的滤波器与给定指标最接近且要求优化变量取离散值，本文采用通过求解一个等价的连续问题来解决，在求解过程中首先对第一个变量的值进行上下取整运算得到最近且最优的离散值，从而解决一个变量的离散化问题，当所有的变量都取到最优的离散值后，完成优化。

（3）采用级联法来实现高阶滤波器。级联法是指用两个或两个以上的二次节和一次节级联来实现一个高阶滤波器。对于一个N阶的高阶滤波器，级联实现所需要的二次节的数目为M=N/2（当N为偶数时），M=（N-1）/2（当N为奇数时）当N为奇数时应加一个一阶节，级联滤波器的传递函数等于各节转移函数之乘积。

综合级联滤波器的基本步骤有两步：

第一，分解高阶转移函数为若干个双二次传递函数和一次函数的乘积；

第二，选择适当的有源二阶节和一阶节按照级联顺序把他们级联起来得到整个滤波器。

（4）确定有源滤波器中的电容电阻值。

3、举例分析

以一个模拟三阶低通切比雪夫滤波器为例，滤波器的阶数为3阶，截止频率为0.2KHz，通带内的纹波分贝值为1.5dB，对此滤波器的传递函数系数进行优化。

滤波器系数未优化时，其频率响应如图1所示，滤波器的传递函数为

优化后滤波器的频率响应如图2所示，滤波器的传递函数为

从图1和图2相比很相似，因而参数优化满足要求，滤波器的系数如表1所示。

为了确定滤波器的电容电阻值，将传递函数分解，其零极点、增益分别为

本文主要目的是滤波器系数的优化，电路中的电阻电容值的求取略。

4、结束语

通过采用Matlab来实现滤波器的设计优化，可以解决理论设计和实际实践中的诸多问题，通过程序仿真证明是完全满足设计要求的。Matlab的优化算法中还有许多算法，例如遗传算法等等，都可以应用到我们的工程问题优化当中。

参考文献：

奇函数乘以奇函数范文第4篇

【关键词】三角有理式；不定积分；高等数学

三角有理式的不定积分是高等数学中的重点和难点，也是各类考试的常见题型.在各类数学竞赛及历年考研试题中时有出现.本文分类总结了三角有理式的不定积分的计算方法，并伴有例题加以说明.

一、三角有理式的积分

三角有理式：由sinx，cosx及常数经过有限次四则运算所得到的函数，记为R（sinx，cosx）.∫R（sinx，cosx）dx称为三角有理式的积分.

思路提示：

（1）尽可能使分母简单，可使分子、分母同乘以某个因子，把分母化为sinkx（或coskx）.

（2）尽量使R（sinx，cosx）的幂次降低，通常使用倍角公式、积化和差公式.

（3）对于三角有理式的积分，利用万能公式均可求解，但万能公式一般不是最好的方法，可能比较繁琐.

二、积分方法

具体说来，大概有以下几种方法：

1.万能公式法

因为

sinx=2tanx21+tan2x2=令u=tanx22u1+u2，cosx=1-tan2x21+tan2x2=令u=tanx21-u21+u2，dx=21+u2du，

所以∫R（sinx，cosx）dx=∫R2u1+u2，1-u21+u2·21+u2du.

例1 ∫1sin4xdx.

解1 令u=tanx2，则sinx=2u[]1+u2，cosx=1-u2[]1+u2，dx=2[]1+u2du，则

∫1[]sin4xdx=∫1+3u2+3u4+u6[]8u4du=1[]8-1[]3u3-3[]u+3u+u3[]3+C

=-124tanx23-38tanx2+38tanx2+124tanx23+C

=-124（cotx2）3-38cotx2+38tanx2+124tanx23+C

解2 令u=tanx，则sinx=u1+u2，dx=11+u2du，则

∫1sin4xdx=∫1（u1+u2）4·11+u2du=∫1+u2u4du

=-1[]3u3-1[]u+C=-13cot3x-cotx+C.

2.巧用1=sin2x+cos2x

例2 ∫dxsin3xcos5x.

解 1sin3xcos5x

=sin2x+cos2x[]sin3xcos5x=1sinxcos5x+1sin3xcos3x

=sin2x+cos2xsinxcos5x+sin2x+cos2xsin3xcos3x

=1sinxcos3x+sinxcos5x+1sinxcos3x+1sin3xcosx

=2sinxcos3x+sinxcos5x+sin2x+cos2xsin3xcosx

=2sinxcos3x+sinxcos5x+1sinxcosx+cosxsin3x

=2sin2x+cos2xsinxcos3x+sinxcos5x+1sinxcosx+cosxsin3x

=sinxcos5x+2sinxcos3x+cosxsin3x+3sinxcosx

=sinxcos5x+2sinxcos3x+cosxsin3x+312sin2x.

原积分=∫sinxcos5x+2sinxcos3x+cosxsin3x+312sin2xdx

=14cos4x+1cos2x-12sin2x+3lncsc2x-cot2x+C.

3.可化为单项式的积分

常用公式：1+cosx=2cos2x2，1-cosx=2sin2x2.若分母含有1±sinx，则分子、分母同乘以（1sinx），若分母含有cosx±sinx，则分子、分母同乘以（cosxsinx）.

例3 ∫sinx1+sinxdx.

解 被积函数分子、分母同乘以（1-sinx），有

∫sinx1+sinxdx=∫sinx（1-sinx）cos2xdx=∫sinxcos2xdx-∫1-cos2xcos2xdx=1cosx-tanx+x+C.

4.被积函数是sinnxcosmx时，分两种情形

（1）若m与n至少有一个为奇数，不妨设m=2k+1（k是自然数，n∈N+），则设t=sinx即可.如：

∫sinnxcosmxdx=∫sinnxcos2kxcosxdx=∫sinnx（1-sin2x）kdsinx=令t=sinx∫tn（1-t2）kdt.

例4 ∫tan3xcosxdx.

解

原式=∫cos-72x·sin3xdx=∫cos-72x·（1-cos2x）·sinxdx=-∫cos-72x·（1-cos2x）dcosx

=-∫cos-72xdcosx+∫cos-32xdcosx=25cos-52x-2cos-12x+C.

（2）若m与n都是偶数，则由三角公式：

sin2x=12（1-cos2x），cos2x=12（1+cos2x），sinxcosx=12sin2x，

将被积函数化简，其结果：一种情况，含有sin2x或cos2x的奇数次幂，这时可由上述（1）求之；另一种情况，仍含有sin2x或cos2x的偶数次幂，再用上述三角公式化简，化成含有以sin4x与cos4x为变数的幂函数的相乘积.以下类推.

例5 ∫sin2xcos4xdx.

解 ∫sin2xcos4xdx=∫sin2xcos2xcos2xdx=∫sin22x4·1+cos2x2dx=18∫sin22xdx+18∫sin22x·cos2xdx=116∫（1-cos4x）dx+116∫sin22xdsin2x=116x-164sin4x+148sin32x+C.

5.若被积函数是sinmxsinnx，sinmxcosnx，cosmxcosnx时，则用积化和差公式

sinmxsinnx=12[cos（m-n）x-cos（m+n）x]，

sinmxcosnx=12[sin（m+n）x+sin（m-n）x]，

cosmxcosnx=12[cos（m+n）x+cos（m-n）x].

例6 ∫sin4xcos2xcos3xdx.

解 sin4xcos2xcos3x=12（sin6x+sin2x）cos3x=12sin6xcos3x+12sin2xcos3x

=14sin9x+14sin3x+14sin5x-14sinx.

原积分=14∫（sin9x+sin3x+sin5x-sinx）dx

=-136cos9x-120cos5x-112cos3x+14cosx+C.

6.若被积函数是sectmxtannx，则分情况讨论

（1）若m为偶数，则

∫secmxtannxdx=∫secm-2xsec2xtannxdx=∫（1+tan2x）m2-1tannx（tanx）′dx.

此时，令u=tanx就可以把上式积分化为多项式的积分.

例7 ∫sec6xdx.

解 ∫sec6xdx=∫sec4xsec2xdx=∫（1+tan2x）2dtanx

=∫（1+2tan2x+tan4x）dtanx=tanx+23tan3x+15tan5x+C.

（2）若m=0，则得积分∫tannxdx，此时若n≥0，则得

∫tannxdx=∫tann-2xtan2xdx=∫tann-2x（sec2x-1）dx

=∫tann-2xsec2xdx-∫tann-2xdx=1n-1tann-1x-∫tann-2xdx.

通过递推求得积分.

（3）若m为奇数，n为偶数，利用tan2x=sec2x-1及不定积分的线性性质，最后可化为求形如∫sec2k-1xdx的积分.

例8 In=∫sec2n+1xdx，证明：当n≥1时，In=tanxsec2n-1x2n+2n-12nIn-1.

证 当n≥1时，

In=∫sec2n-1xdtanx=tanxsec2n-1x-∫（2n-1）sec2n-1x·tan2xdx

=tanxsec2n-1x-∫（2n-1）sec2n-1x（sec2x-1）dx

=tanxsec2n-1x-（2n-1）（In-In-1）.

In=tanx·sec2n-1x2n+2n-12nIn-1.

例9 ∫sec3xdx.

解

∫sec3xdx=∫sec2xsecxdx=secxtanx-∫tan2xsecxdx

=secxtanx-∫（sec2x-1）secxdx=secxtanx+lnsecx+tanx-∫sec3xdx.

∫sec3xdx=12（secxtanx+lnsecx+tanx）+C.

（4）若n为奇数，则

∫sectmxtannxdx=∫sectm-1xtann-1xsecxtanxdx=∫secm-1x（sec2x-1）n-12（secx）′dx.

此时，令u=secx（第一类换元法）就可以把上式化为多项式的积分.

例10 ∫tan5xsec3xdx.

解 ∫tan5xsec3xdx=∫tan4xsec2xsecxtanxdx=∫（sec2x-1）2sec2xdsecx=∫（sec6x-2sec4x+sec2x）dsecx=17sec7x-25sec5x+13sec3x+C.

例11 求∫sinxasinx+bcosxdx.

解 因为

asinx+bcosxasinx+bcosx=asinxasinx+bcosx+bcosxasinx+bcosx，

令I1=∫sinxasinx+bcosxdx，I2=∫cosxasinx+bcosxdx，则有

aI1+bI2=∫asinxasinx+bcosxdx+∫bcosxasinx+bcosxdx=∫asinx+bcosxasinx+bcosxdx=x+C1，

aI2-bI1=∫acosx-bsinxasinx+bcosxdx=∫d（asinx+bcosx）asinx+bcosx=ln|asinx+bcosx|+C2.

由上述两式，可以解得

I1=∫sinxasinx+bcosxdx=1a2+b2（ax-bln|asinx+bcosx|）+C.

结束语

综上所述，三角有理式的不定积分的计算方法较多，需初学者多做练习，多做总结，熟练掌握.

【参考文献】

[1]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第四版）[M].高等教育出版社，2006.

奇函数乘以奇函数范文第5篇

数学科考试旨在测试中学数学基础知识、基本技能、基本方法，考查数学思维能力，包括空间想象直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等，以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。考试分为理工农医和文史财经两类理工农医类。复习考试范围包括代数、三角、平面解析几何、立体几何和概率与统计初步五部分。文史财经类复习考试范围包括代数、三角、平面解析几何和概率与统计初步四部分。考试中可以使用计算器，考试内容的知识要求和能力要求作如下说明：

1.知识要求

本大纲对所列知识提出了三个层次的不同要求，三个层次由低到高顺序排列，且高一级层次要求包含低一级层次要求三个层次分别为，了解要求考生对所列知识的含义有初步的认识，识记有关内容，并能进行直接运用理解、掌握、会要求考生对所列知识的含义有较深的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用知识解决有关问题灵恬运用：要求考生对所列知识能够综台运用，并能解决较为复杂的数学问题

2.能力要求

逻辑思维能力：舍对问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推理，能准确、清晰、有条理地进行表述运算能力理解算理，会根据法则、公式、概念进行数式、方程的正确运算和变形，能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计，能运用计算器进行数值计算空间想象能力：能根据条件画出正确图形，根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合、变形分析问题和解决问题的能力：能阅读理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。

一、复习考试内容

理工农医类

第一部分 代 数

(一)集合和简易逻辑

1.了解集合的意义及其表示方法了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，了解符号?，=,∈，?的含义，并能运用这些符号表示集合与集台、元素与集台的关系

2.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念

(二)函数

1.理解函数概念，会求一些常见函数的定义域

2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,会判断一些常见由数的单词性和奇偶性。

3.理解一次函数、反比例函数的概念，掌握它们的图象和性质，会求它们的解析式。

4.理解二伙函数的概念，掌握它的图象和性质以及函数y=ax2÷bx+c(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象间的关系，会求二次函数的解析式及值或最小值，能灵活运用二次函数的知识解决有关问题

5.了解反函数的意义，会求一些简单函数的反函数

6.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、图像和性质。

7.理解对数的概念，掌握对数的运算性质、掌握对散函数的概念、图象和性质。

(三)不等式和不等式组

1.理解不等式的性质，会用不等式的性质和基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)，　|a+b|≤|a2+b2|(a,b∈R)解决一些简单的问题。

2.会解一元一次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式、会解一元一次不等式、会表示不等式或不等式组的解集

3.了解绝对值不等式的性质，会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式

(四)数列

1.了解数列及其通项、前n项和的概念

2.理解等差数列、等差中项的概念，会灵活运用等差数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题。

3.理解等比数列、等比中项的概念，会灵活运用等比数列的通顼公式、前n项和公式解决有关问题。

(五)复数

1.了解复数的概念及复数的代数表示和几何意义

2.会进行复数的代数形式的加、减、乘、除运算

(六)导数

1.了解函数极限的概念，了解函数连续的意义

2.理解导数的概念及其几何意义

3.会用基本导数公式(y=c，y=x2(n为有理数)，y=sinx，y=cosx,y=c2的导数)，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。

4.理解极大值、极小值、值、最小值的概念，并会用导数求有关函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的值和最小值

5.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的值与最小值

第二部分 三 角

(一)三角函数及其有关概念

l.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念 。

2.理解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算

3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值。

(二)三角函数式的变换

l.掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会用它们进行计算、化简和证明

2.掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明。

(三)三角函数的图象和性质

l.掌握正弦函数、余弦函数的图象和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题

2.了解正切函数的图象和性质

3.了解函数y=Asin(ωx+θ)与y=sinx的图象之间的关系,会用‘"五点法”画出它们的简图，会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值

4.会由已知三角函数值求角，井会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示。

(四)解三角形

l.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形及应用题。

2.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形及简单应用题。

第三部分 平面解析几何

(一)平面向量

l.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2.掌握向量的加、减运算，掌握数乘向量的运算，了解两个向量共线的条件。

3.了解平面向量的分解定理，掌握直线的向量参数方程。

4.掌握向量数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用。掌握向量垂直的条件。

5.掌握向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算

6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式

(二)直线

l.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率平行垂直夹角等几何问题

(三)多面体和旋转体

l.了解直棱柱正棱柱的概念、性质，会计算它们的体积

2.了解棱锥、正棱锥的概念、性质，会计算它们的体积

3.了解球的概念、性质，会计算球面面积和球体体积

第四部分 概率与统计初步

(一)排列、组台与二项式定理

1.了解分类计数原理和分步计数原理

2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式

3.会解排列、组合的简单应用题

4.了解二项式定理，会用二项展开式的性质和通项公式解次简单问题

(二)概率初步

1.了解随机事件及其概率的意义

2.了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率

3.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概卑加法公式计算一些事件的概率

4.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算～些事件的概率

5.会计算事件在n独立重复试验中恰好发生k次的概率

6.了解离散型随机变量及其期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值

(三)统计初步

了解总体和样本的概念，会计算样本平均数和样本方差

文史财经类

第一部分 代 数

(一>集合和简易逻辑

1 .了解集台的意义及其表示方法,了解空集、全集、子集、交集并集、补集的概念及其表示方法，了解符号?，=,∈，?的含义，并能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系

2.了解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念

(二)函数

1.了解函数概念，会求一些常见函数的定义域

2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，会判断一些常见函数的单调性和奇偶性

3.理解一次性函数、反比例函数的概念，掌握它们的图象和性质，会求它们的解析式。

4.理解二次函数的概念，掌握它的图象和性质以及函数y=ax+bx+c(a≠0)与y=ax2 (a#0)的图象间的关系，会求二次函数的解析式及值或最小值，能运用二次函数的知识解决有关问题

5.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。

6.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质

(三)不等式和不等式组

l.了解不等式的性质，会解一元-次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式，舍解一元二次不等式。会表示不等式或不等式组的解集

2.会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式

(四)数列

1.了解数列及其通项、前n项和的概念

2.理解等差数列、等差中项的概念，会运用等差数列的通项公式前n项和公式解决有划题

3.理解等比数列、等比中项的概念，会运用等比数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题

(五)导数

1.理解导数的概念及其几何意义

2.掌握面数y=c(c为常数).y=x2“(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数

3.了解极大值、极小值、值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的值和最小值

4.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的值与最小值

第二部分 三 角

(一)三角函数及其有关概念

1.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念

2.了解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算

3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值

(二)三角函数式的变换

l.掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会运用它们进行计算、化简和证明。

2.掌握两角和两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明

(三)三角函数的图象和性质

1.掌握正弦函数、余弦函数的图象和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题

2.了解正切函数的图象和性质

3.会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值，会由已知二角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx.

(四)解三角形

l.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形

2.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形

第三部分 平面解析几何

(一)平面向量

1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念

2.掌握向量的加、减运算掌握数乘向量的运算了解两个向量共线的条件

3.了解平面向量的分解定理

4.掌握向量的数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用 了解向最垂直的条件

5.了解向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算

6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式

(二)直线

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率。

2.会求直线方程，会用直线方程解决有关问题

3.了解两条直线平行与垂直的条件以及点到直线的距离公式，会用它们解决简单的问题

(三)圆锥曲线

1.了解曲线和方程的关系，会求两条曲线的交点

2.掌握圆的标准方程和一般方程以及直线与圆的位置关系，能灵活运用它们解决有关问题

3.理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，掌握它们的标准方程和性质，会用它们解决有关问题

第四部分 概率与统计初步

(一)排列、组台

l.了解分类计数原理和分步计数原理

2.了解排列、组合的意义，会用排列数、组合数的计算公式

3.会解排列、组合的简单应用题

(二)概率初步

1.了解随机事件及其概率的意义

2.了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率

3.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加j去公式计算一些事件的概率

4.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率

5.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率