【摘要】本文针对创意平板折叠桌的设计问题，应用几何思想，通过建立桌面半径和长度、钢筋位置相应的数学模型，描述了折叠桌的动态变化过程。同时，对折叠桌的设计加工参数等进行了数学描述。最后通过Lingo和Matlab软件编程给出了最优加工参数。

【关键词】折叠桌;非线性规划模型;几何思想;Lingo和Matlab软件

随着社会的不断进步，城市化进程的加快，高楼大厦密集，城市道路四通八达，但是与此同时，用地紧张、生存空间拥挤等问题也接踵而来，各行各业都开始广泛关注空间的有效利用，尽可能地节省空间。空间对于人们的生活环境在功能性和实用性上有着举足轻重的作用，它是蕴含丰富、用之不竭的宝贵资源。当然，随着社会的发展和进步，能够有效节省空间的“创意平板折叠桌”应运而生，它不仅可以满足人们对空间的需求，而且能够有效节省空间。一块木板变成一张桌子，通过对折叠桌的动态变化过程的分析与研究(如图1所示)，我们需要解决以下三个问题:问题1:建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。问题2:对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数:平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。问题3:根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。

1模型准备

1．1问题分析

通过观察折叠桌的动态变化过程，我们发现折叠桌的变化是一个复杂的过程，由平板到立体折叠桌的过程中主要与折叠桌的条数、木条的长度、桌面距离地面的高度、各木条折叠的角度、开槽长度、各木条折叠角度变化的范围、钢筋位置等有关。同时，又要考虑到加工过程所造成的误差，模型建立过程理想化部分对折叠过程中的影响，以及折叠桌轻巧方便、美观大方、加工方便、用材最少、稳固性好、功能性强的特点。分析折叠桌结构可以发现:在折叠桌打开的过程中，随着最外侧的桌腿与地面夹角的不断变化，每根桌腿与地面之间的角度也都发生了改变，通过它们之间的变化关系，可以写出相关方程式并建立非线性规划数学模型对折叠桌的动态变化过程加以描述。对于任意已给折叠桌高度和圆形桌面直径，要求折叠桌的设计做到用材最少，这是可以用数学模型进行量化，也是要求最高的因素，因此可主要围绕用材最少这个要求，建立约束条件下的非线性规划模型。通过分析影响因素，寻找目标函数和约束条件，可得到折叠桌设计的最优加工参数。

1．2符号说明

根据对问题的分析，可以将不同参数用不同的字母符号代替:L:木板的长度;G:木板的宽度;li:每根木条的长度;k:木条的厚度;gi:每根木条的宽度;z:相邻两根木条之间的间隔距离;d:圆桌的直径;r:圆桌的半径;Qi:圆形内的弦长;a:木条与圆桌之间所留活动间隔的长度;i:木条与以圆桌表面为水平面的夹角;Yi:第一块木条与第i块木条之间的角度之差;y:圆桌面弧长的一半;e:钢条到圆桌中心的距离;Ci:开槽长度;Pi:钢条到对应圆弧区域切线的距离;f:槽的最低端到圆上的最短距离;h:圆桌到地面的距离;o:木条与圆桌之间的间隔。

1．3模型假设

假设平板活动的过程中木条之间的摩擦忽略不计;假设切割木条时缝隙的宽度忽略不计;假设在折叠过程中，钢筋不会发生弯曲;假设圆桌直径等于给定的长方形平板的宽度。

2模型建立与求解

通过观察发现，折叠桌的长度是两根相同木条的和加上木条与圆桌之间的间隔长度，再加上圆桌面弧长的2倍。折叠桌的宽度就是圆形桌的直径，同时也等于每根木条的宽度之和加上所有相邻两根木条间隔距离之和:G=2r，n=2a。同时，折叠桌的宽度等于每根木条的宽度之和加上所有木条间隔距离之和G=ngi+(n－1)z。木板的长度是木板两边木条的长度和再加上两边木条与圆桌之间的间隔之和以及对应圆桌的弧长之和:L=2li+2o+2yi。圆桌的高度:由几何关系得到h=lisini。最短木条的最大变化角度，通过该结果可以判断左右两端木条的变化范围，我们想要得到木条的变化范围完全可以通过计算木条的角度变化范围判断。在此，我们通过计算最短木条的角度变化范围mmax=π－arccosrlm，m≤mmax此外，若想求得参数还需要有一些辅助条件:首先，求得和圆桌面相关的条件:yi=r2－(i•gi+(i－1)•2－r)槡2，该结果是求解木板长度不可缺少的条件。钢条到圆桌中心的距离:e=fi+yi，根据该结果确定钢条的活动范围。槽的最低端到圆上的最短距离:fi=kli，fi=f1sin1sini，fi=Ci+pi，e=pi+yi，Yi=yi－y，12L≥fm+ym，0．1≤z≤0．3，0≤i≤5π12，结果为开槽长度的变化范围。假设客户要求制定一个高为50厘米，圆桌直径为50厘米的桌子，我们用Lingo软件和Matlab软件求解，得出最优加工参数如下(实物模型参看图2):本文通过建立数学模型并利用计算机软件编程等知识来确定其所需材料的尺寸，钢筋的位置和每根桌腿的开槽长度等加工参数，使制成的折叠桌不但可以展开成桌子，而且还可以折叠成平板以节省空间，既轻巧方便，又美观大方，同时还具有加工方便、用材最少、稳固性好、功能性强等特点。同时，本文对针折叠桌的设计所建立的模型能够可以推广到其它零件的设计，应用甚广。

参考文献:

［1］任亚冰，吴振宇，王楠．基于层次分析的创意平板折叠桌设计［J］．福建电脑，2014．

［2］2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题［Z］．

［3］姜启元．数学模型［M］．北京:高等教育出版社，2011．

［4］韩中庚．数学建模方法及其应用［M］．北京:高等教育出版社，2009．

作者:赵战兴 白林子 黎露 单位:重庆工程学院